Triangle rectangle

PREMIERE PARTIE

Soit REC un triangle rectangle en R tel que : RE = 9 cm et RC = 12 cm.
Soit H le pied de la hauteur issue du sommet R.

1 - Calculer l'aire du triangle REC.

2 - Démontrer que EC = 15 cm.

3 - Déduire des questions précédentes que l'on a RH = 7,2 cm.

DEUXIEME PARTIE

On place un point M sur le côté [EC] du triangle REC et on note x la distance EM, exprimée en cm (0 < x < 15).

1 - Exprimer en fonction de x la longueur MC.

2 - En remarquant que H est le pied de la hauteur issue de R dans chacun des triangles REM et RMC :
a) Montrer que l'aire du triangle RME, exprimée en cm², est 3,6x.

b) Montrer que l'aire du triangle RMC, exprimée en cm², est 54 - 3,6x.

TROISIEME PARTIE

Le plan est muni d'un repère orthogonal. Sur l'axe des abscisses, l'unité est le centimètre.
Sur l'axe des ordonnées, 1 cm représente 10 unités.
On fera le dessin sur la feuille de papier millimétré de votre sujet, en prenant l'axe des abscisses parallèle au grand côté de la feuille.

1 -

a) Représenter la droite d₁ d'équation y = 3,6x.

b) Représenter la droite d₂ d'équation y = 54 - 3,6x.

2 - Soit K le point d'intersection des droites d₁ et d₂.
En relation avec la deuxième partie, que représente l'abscisse du point K ?

Que représente son ordonnée ?

3 - On veut trouver la valeur de x pour laquelle l'aire du triangle RMC est égale à 36 cm².
Déterminer graphiquement cette valeur en faisant apparaître sur le graphique les constructions utiles.

PREMIERE PARTIE

1)

2) Le triangle (REC) est rectangle en R.
D'après la propriété de Pythagore on a : EC ² = ER ² + RC ² = 81 + 144 = 225 = 15 ²
d'où EC = 15 cm.

3) Calcul de l'air du triangle RHC.

d'où

DEUXIEME PARTIE

1) MC = EC - EH = 15 - x.

2) a. cm ²

b. Aire RMC = Aire ERC - Aire REM = 54 - 3,6x. cm ²


TROISIEME PARTIE

1)

2) 3,6x est l'aire du triangle RME.
54 - 3,6x est l'aire du triangle RMC donc l'abscisse de K est la valeur de x pour laquelle ces 2 aires sont égales, et son ordonnée est la valeur de cette aire.
x = 7,5 et y = 27.

3) Voir figure x = 5 cm.

• Le triangle sur Wikipédia
• Les Annales de mathématiques du Brevet sur France examen