Annales Bac S : Fonction logarithme

(6 points)

Commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur l'intervalle par f(x) = ln (1+xe^-x).
On note f ' la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle .
On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal. La courbe C est représentée en annexe 1 (à rendre avec la copie).

PARTIE I

1. Justifier que .
2. Justifier que pour tout nombre réel positif x, le signe de f '(x) est celui de 1—x.
3. Etudier les variations de la fonction f sur l'intervalle .

PARTIE II

Soit λ un nombre réel strictement positif. On pose .

On se propose de majorer A(λ) à l'aide de deux méthodes différentes.

1. Première méthode
a. Représenter, sur l'annexe jointe (à rendre avec la copie), la partie du plan dont l'aire en unité d'aire, est égale à A(λ).
b. Justifier que pour tout nombre réel λ strictement positif, A(λ) ≤ λ × f(1).

2. Deuxième méthode
a. Calculez à l'aide d'une intégration par parties en fonction de λ.

b. On admet que pour tout nombre réel positif u, ln(1+u) ≤ u.
Démontrer alors que, pour tout nombre réel λ strictement positif, A(λ) ≤ —λe^—λ — e^—λ + 1.

3. Application numérique
Avec chacune des deux méthodes, trouver un majorant de A(5), arrondi au centième.
Quelle méthode donne le meilleur majorant dans le cas où λ = 5 ?

Annexe 1, Exercice 2 (à rendre avec la copie)