Le sujet 2006 - Bac STI Génie Electronique - Physique - Exercice |
Avis du professeur :
La partie C permet d'établir l'expression de la tension de
sortie du multiplieur qui est ensuite filtrée dans la partie D. La fréquence
retenue est fonction du matériau à trier. |
Tri de matériaux
L'une des préoccupations industrielles actuelles concerne le recyclage des
matériaux. Cette opération consiste à introduire des matériaux provenant de
déchets dans un cycle de production pour remplacer partiellement ou totalement
une matière première vierge. Elle vise donc à préserver les ressources
naturelles de la planète. Il est cependant nécessaire d'effectuer
convenablement la récupération de ces matériaux. Les déchets mélangés en
différentes catégories doivent être triés et séparés afin d'en faciliter
l'élimination ou le retraitement dans des processus spécifiques. Dans ce cadre,
l'étude proposée porte sur un système permettant d'extraire des objets
constitués d'un matériau métallique dit ferreux d'une part et d'un matériau
métallique dit non ferreux d'autre part.
L'ensemble du dispositif simplifié est représenté à la figure 1. Les objets se succèdent sur un tapis roulant pour arriver à un détecteur spécifique. Suivant le type de matériau détecté, chaque objet tombant ensuite dans un conduit est orienté grâce à un système d'aiguillage à portes.
Figure 1
Tous les composants sont considérés comme parfaits :
● Les circuits intégrés logiques sont
alimentés sous la tension VDD = 15 V. Ils ont une
impédance d'entrée infinie et une impédance de sortie nulle. Leur tension de
sortie peut être égale à 0 V ou à 15 V.
● Les amplificateurs opérationnels sont
alimentés sous les tensions +VCC = +15 V et -VCC = -15 V.
Ils ont une impédance d'entrée infinie et une impédance de sortie nulle. Leurs
tensions de saturation sont égales à -15 V ou à +15 V.
● Les diodes sont supposées idéales.
Toutes les parties sont indépendantes à l'exception de la
synthèse.
C. Le multiplieur
Les tensions v1 et v2 issues des deux oscillateurs sont appliquées à l'entrée d'un multiplieur (voir figure ci-dessous).
Figure 7
Le multiplieur réalise l'opération de multiplication
analogique. Sa tension de sortie vaut : v3 = Kv1v2
avec K = 0,1 V-1.
On donne :
avec et f1 = 7 576
Hz
avec et f2 = 7 440
Hz
C.1. On rappelle que
Mettre v3(t) sous la forme d'une différence de cosinus.
C.2. On note l'amplitude
maximale de la composante de fréquence la plus élevée de v3(t) et f3H
sa fréquence. De la même manière, on note l'amplitude
maximale de la composante de fréquence la plus basse de v3(t) et f3B
sa fréquence.
Donner les expressions littérales puis les valeurs numériques de, f3H, et f3B.
D. Le filtre
La tension v3 issue du multiplieur est filtrée (voir figure ci-dessous).
Figure 8
On appelle la fonction de transfert du
filtre.
D.1. Donner l'expression générale de en fonction
de et.
Le module T de la fonction de transfert du filtre
est représenté en fonction de la fréquence f sur la figure ci-dessous.
Figure 9
Une zone du graphique a été agrandie sur la figure ci-dessous.
Figure 10
D.2. Indiquer la nature du filtre (passe-bas, passe-haut ou passe-bande).
D.3. Déterminer la valeur maximale Tmax du
module de la fonction de transfert.
Déterminer la fréquence f0 correspondante.
D.4. Définir ce qu'est une fréquence de coupure à -3
dB pour un filtre.
Déterminer la (ou les) fréquence(s) de coupure du filtre étudié.
D.5. Définir la largeur de la bande passante Df (-3 dB) du filtre à -3dB. Calculer la valeur numérique de Df (-3 dB).
D.6. On suppose qu'à l'entrée du filtre, la tension v3
correspond à la somme de deux composantes sinusoïdales, l'une de fréquence f3B
= 136 Hz et d'amplitude maximale, l'autre de fréquence f3H
= 15,0 kHz et d'amplitude maximale.
Représenter sur le document-réponse ci-dessous le spectre d'amplitude du signal
à la sortie du filtre.
Document-réponse n°2
C - Le multiplieur
Juste en un coup d'oeil
C.1.
C.2.
Corrigé détaillé et commenté
C.1.
C.2.
Compétences exigibles
● Outils mathématiques : utilisation des
formules de trigonométrie (produit de fonctions sinusoïdales)
● Circuits non linéaires : acquis du programme de première
- existence de signaux périodiques non sinusoïdaux.
- notion de fondamental et d'harmoniques.
D - Le filtre
Juste en un coup d'oeil
D.1.
D.2. Filtre passe-bande
D.3.
Tmax = 1,2
f0 = 136 Hz
D.4. Fréquence de coupure : fréquence pour laquelle.
fCB = 126 Hz
fCH = 146 Hz
D.5.
D.6.
Voir document-réponse ci-dessous.
Corrigé détaillé et commenté
D.1. La fonction de transfert du filtre est définie
par :
D.2. Il s'agit d'un filtre passe-bande qui atténue les basses et les hautes fréquences et laisse passer une certaine gamme de fréquences.
D.3. Graphiquement, Tmax = 1,2 pour la fréquence f0 = 136 Hz.
D.4. Une fréquence de coupure est une fréquence pour laquelle.
Il y a donc ici 2 fréquences de coupure : fCB = 126 Hz et fCH = 146 Hz.
D.5. La largeur de bande passante est l'écart entre les deux fréquences de coupure :
D.6. Voir document-réponse
ci-dessous.
● La raie spectrale à 136 Hz est amplifié par le
filtre :
● La raie spectrale à 15 kHz est complètement atténuée par le filtre :
Compétences exigibles
● Outils mathématiques
- utilisation des nombres complexes
● Connaissances scientifiques
- définir la fonction de transfert d'un filtre
- définir les fréquences de coupure à —3 dB et la bande
passante à —3 dB d'un filtre passe-bande.
● Savoir-faire théoriques :
- exploiter le diagramme T(f) du module de la fonction de
transfert pour déterminer le type de filtre, la fréquence centrale et les
fréquences de coupure dans le cas d'un filtre passe-bande.
- déterminer, par le calcul ou par utilisation d'un graphe,
les amplitudes des composantes spectrales d'un signal périodique à la sortie
d'un filtre.