Annales gratuites Bac STI Génie Electronique : Le multiplicateur - le filtre

Tri de matériaux
L'une des préoccupations industrielles actuelles concerne le recyclage des matériaux. Cette opération consiste à introduire des matériaux provenant de déchets dans un cycle de production pour remplacer partiellement ou totalement une matière première vierge. Elle vise donc à préserver les ressources naturelles de la planète. Il est cependant nécessaire d'effectuer convenablement la récupération de ces matériaux. Les déchets mélangés en différentes catégories doivent être triés et séparés afin d'en faciliter l'élimination ou le retraitement dans des processus spécifiques. Dans ce cadre, l'étude proposée porte sur un système permettant d'extraire des objets constitués d'un matériau métallique dit ferreux d'une part et d'un matériau métallique dit non ferreux d'autre part.

L'ensemble du dispositif simplifié est représenté à la figure 1. Les objets se succèdent sur un tapis roulant pour arriver à un détecteur spécifique. Suivant le type de matériau détecté, chaque objet tombant ensuite dans un conduit est orienté grâce à un système d'aiguillage à portes.

Figure 1

Tous les composants sont considérés comme parfaits :
● Les circuits intégrés logiques sont alimentés sous la tension V_DD = 15 V. Ils ont une impédance d'entrée infinie et une impédance de sortie nulle. Leur tension de sortie peut être égale à 0 V ou à 15 V.
● Les amplificateurs opérationnels sont alimentés sous les tensions +V_CC = +15 V et -V_CC = -15 V. Ils ont une impédance d'entrée infinie et une impédance de sortie nulle. Leurs tensions de saturation sont égales à -15 V ou à +15 V.
● Les diodes sont supposées idéales.

Toutes les parties sont indépendantes à l'exception de la synthèse.

C. Le multiplieur

Les tensions v₁ et v₂ issues des deux oscillateurs sont appliquées à l'entrée d'un multiplieur (voir figure ci-dessous).

Figure 7

Le multiplieur réalise l'opération de multiplication analogique. Sa tension de sortie vaut : v₃ = Kv₁v₂ avec K = 0,1 V^-1.
On donne :
 avec  et f₁ = 7 576 Hz
 avec  et f₂ = 7 440 Hz

C.1. On rappelle que

Mettre v₃(t) sous la forme d'une différence de cosinus.

C.2. On note l'amplitude maximale de la composante de fréquence la plus élevée de v₃(t) et f_3H sa fréquence. De la même manière, on note  l'amplitude maximale de la composante de fréquence la plus basse de v₃(t) et f_3B sa fréquence.
Donner les expressions littérales puis les valeurs numériques de, f_3H,  et f_3B.

D. Le filtre

La tension v₃ issue du multiplieur est filtrée (voir figure ci-dessous).

Figure 8

On appelle  la fonction de transfert du filtre.
D.1. Donner l'expression générale de  en fonction de  et.
Le module T de la fonction de transfert  du filtre est représenté en fonction de la fréquence f sur la figure ci-dessous.

Figure 9

Une zone du graphique a été agrandie sur la figure ci-dessous.

Figure 10

D.2. Indiquer la nature du filtre (passe-bas, passe-haut ou passe-bande).

D.3. Déterminer la valeur maximale T_max du module de la fonction de transfert.
Déterminer la fréquence f₀ correspondante.

D.4. Définir ce qu'est une fréquence de coupure à -3 dB pour un filtre.
Déterminer la (ou les) fréquence(s) de coupure du filtre étudié.

D.5. Définir la largeur de la bande passante Df _{(-3 dB)} du filtre à -3dB. Calculer la valeur numérique de Df _{(-3 dB)}.

D.6. On suppose qu'à l'entrée du filtre, la tension v₃ correspond à la somme de deux composantes sinusoïdales, l'une de fréquence f_3B = 136 Hz et d'amplitude maximale, l'autre de fréquence f_3H = 15,0 kHz et d'amplitude maximale.
Représenter sur le document-réponse ci-dessous le spectre d'amplitude du signal à la sortie du filtre.

Document-réponse n°2

C - Le multiplieur

Juste en un coup d'oeil
C.1.

C.2.

Corrigé détaillé et commenté
C.1.

C.2.

Compétences exigibles
● Outils mathématiques : utilisation des formules de trigonométrie (produit de fonctions sinusoïdales)
● Circuits non linéaires : acquis du programme de première
   - existence de signaux périodiques non sinusoïdaux.
   - notion de fondamental et d'harmoniques.

D - Le filtre

Juste en un coup d'oeil
D.1.

D.2. Filtre passe-bande

D.3.

T_max = 1,2

f₀ = 136 Hz

D.4. Fréquence de coupure : fréquence pour laquelle.

f_CB = 126 Hz

f_CH = 146 Hz

D.5.

D.6.
Voir document-réponse ci-dessous.

Corrigé détaillé et commenté

D.1. La fonction de transfert du filtre est définie par :

D.2. Il s'agit d'un filtre passe-bande qui atténue les basses et les hautes fréquences et laisse passer une certaine gamme de fréquences.

D.3. Graphiquement, T_max = 1,2 pour la fréquence f₀ = 136 Hz.

D.4. Une fréquence de coupure est une fréquence pour laquelle.

Il y a donc ici 2 fréquences de coupure : f_CB = 126 Hz et f_CH = 146 Hz.

D.5. La largeur de bande passante est l'écart entre les deux fréquences de coupure :

D.6. Voir document-réponse ci-dessous.
● La raie spectrale à 136 Hz est amplifié par le filtre :
● La raie spectrale à 15 kHz est complètement atténuée par le filtre :

Compétences exigibles

● Outils mathématiques
   - utilisation des nombres complexes
● Connaissances scientifiques
   - définir la fonction de transfert d'un filtre
   - définir les fréquences de coupure à —3 dB et la bande passante à —3 dB d'un filtre passe-bande.
● Savoir-faire théoriques :
   - exploiter le diagramme T(f) du module de la fonction de transfert pour déterminer le type de filtre, la fréquence centrale et les fréquences de coupure dans le cas d'un filtre passe-bande.
   - déterminer, par le calcul ou par utilisation d'un graphe, les amplitudes des composantes spectrales d'un signal périodique à la sortie d'un filtre.