Fonction exponentielle

(7 points)

Commun à tous les candidats.

On considère la fonction f définie sur l'intervalle  par :

Partie A
1. La fonction f est dérivable sur l'intervalle , on note f' sa fonction dérivée.
Calculer f'(x) pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle .
2. En déduire que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle .
3. Déterminer .

4.
a. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle .
b. On admet qu'il existe un unique nombre réel positif α tel que f(α)=0.
Donner le signe de la fonction f sur l'intervalle .

5.
a. Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant (donner les valeurs décimales arrondies au dix-millième) :

b. En déduire la valeur décimale, arrondie au centième, du nombre α tel que f(α) =0.

Partie B
1. Soit g la fonction définie sur l'intervalle  par
a. La fonction g est dérivable sur l'intervalle . On note g' sa fonction dérivée.
Calculer g'(x) pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle .
b. Etudier le sens de variation de la fonction g sur l'intervalle  en utilisant les résultats de la Partie A.

2. Calculer l'intégrale .

(Donner la valeur exacte, puis la valeur décimale arrondie au centième).