Fonction logarithme

Les tracés de courbes seront faits dans un plan rapporté à un repère orthonormal (unité : 2cm).

On rappelle qu'une fonction f est majorée par une fonction g (ce qui signifie aussi que g est minorée par f) sur un intervalle I si et seulement si, pour tout x appartenant à I, .


Partie A

Soit f et g les fonctions définies sur [0 ; [ par f(x) = ln (1 + x) et g(x) = ; on notera C la représentation graphique de f et celle de g.
On se propose de démontrer que f est minorée par g sur [0 ; [.
Soit h la fonction définie sur [0 ; [ par h(x) = f(x) - g(x).


1. Etudier le sens de variation de h sur [0 ; [ ; calculer h(0). (L'étude de la limite de h en n'est pas demandée).

2. En déduire que pour tout réel x positif ou nul, (1) .

3. Construire dans le même repère les courbes C et et montrer qu'elles admettent en O une même tangente D que l'on tracera. (On justifiera rapidement le tracé de ces courbes).


Partie B

k désignant un réel strictement positif, on se propose de déterminer toutes les fonctions linéaires , majorant la fonction :
Soit f_k la fonction définie sur [0 ; [ par f_k(x) = ln(1 + x) - kx.

1. Etudier le sens de variation de f₁ définie sur [0 ; [ par :
f₁(x) = ln(1 + x) - x.

2. Etudier la limite de f₁ en et donner la valeur de f₁ en O.

3. Montrer que pour tout réel x positif ou nul :

(2) .

4. En déduire que si .

5. Le réel k vérifie les conditions : 0 < k < 1.
Montrer que la dérivée de f_k s'annule pour et étudier le sens de variation de f_k. (L'étude de la limite de f_k en n'est pas demandée).

6. En déduire les valeurs de k strictement positives telles que pour tout

Partie C

1. A l'aide d'une intégration par parties, calculer :

(On remarquera éventuellement que : ).

En déduire le calcul de puis de

(Pour le calcul de K on pourra vérifier que : ).

Interpréter géométriquement les valeurs des intégrales J et K en utilisant les courbes C, et la droite D obtenues dans la partie A.

2. Soit u la fonction définie sur [0 ; 1] de la façon suivante :

u(0) = 1 et si

a. Démontrer que la fonction u est continue sur [0 ; 1].
b.On pose

.

En utilisant les inégalités (1) et (2) obtenues dans les parties A et B, montrer que :

En déduire une valeur approchée de L à près.