Exercice 1 :

Commun à tous les candidats

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A :

On considère l’équation différentielle (E) :.

1. Montrer que la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels par est une solution de l’équation différentielle (E).

2. On considère l’équation différentielle (E’) : . Résoudre l’équation différentielle (E’).

3. Soit une fonction définie et dérivable sur. Montrer que la fonction`est une solution de l’équation différentielle (E) si et seulement si la fonctionest une solution de l’équation différentielle (E’).

4. En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle (E).

5. Déterminer l’inique solutionde l’équation différentielle (E) telle que .

Partie B :

On considère la fonction définie sur l’ensembledes nombres réels par où est un nombre réel donné.
On note d’abscisse. Montrer que le point appartient à la courbed’équation.

1. Monter que la fonction admet un maximum en .

2. On note le point de la courbe d’abscisse . Monter que le point appartient à la courbe d’équation .

3. Sur le graphique donné en annexe 1 (à rendre avec la copie), le repère est orthogonal mais l’unité sur l’axe des abscisses et sur l’axe des ordonnées ainsi que les noms des courbes n’apparaissent pas.

Sur ce graphique, on a tracé deux courbes :

La courbed’équation ;

La courbed’équationpour un certain nombre réel donné.

1. Identifier les courbes et les nommer sur l’annexe 1 (à rendre avec la copie).

2. En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel correspondante ainsi que l’unité graphique sur chacun des axes.

4. A l’aide d’une intégration par parties, calculer. Donner une interprétation graphique de cette intégrale.

Annexe 1 (Exercice 1) (à rendre avec la copie)