Annales Bac S : Exponentielle et intégrale

(5 points)

Commun à tous les candidats

1. Soit f la fonction définie sur  par : f(x) = x² e^{1 — x}. On désigne par C sa courbe représentative dans un repère orthonormal  d'unité graphique 2 cm.
a. Déterminer les limites de f en — et en + ; quelle conséquence graphique pour C peut-on en tirer ?
b. Justifier que f est dérivable sur . Déterminer sa fonction dérivée f '.
c. Dresser le tableau de variation de f et tracer la courbe C.

2. Soit n un entier naturel non nul. On considère l'intégrale I_n défini par .
a. Etablir une relation entre I_{n+ 1} et I_n.
b. Calculer I₁, puis I₂.
c. Donner une interprétation graphique du nombre I₂. On la fera apparaître sur le graphique de la question 1.c.

3.
a. Démontrer que pour tout nombre réel x de [0 ; 1] et pour tout entier naturel n non nul, on a l'inégalité suivante : x ⁿ  x ⁿ e ^{1 — x}  e x ⁿ.
b. En déduire un encadrement de I_n puis la limite de I_n quand n tend vers +.