Pavé droit

Un fabricant de boîtes en carton dispose, pour sa fabrication, de rouleaux donnant une bande de carton de 32 cm de large dans laquelle il trace et découpe les patrons des boîtes avant de les coller. Il dispose ses patrons de la manière indiquée dans le dessin ci-dessous :

Les boîtes, en forme de pavés droits, comportent deux faces carrées de x cm de côté, munies de deux languettes de 1 cm de large pour le collage, et quatre autre faces dont les dimensions en cm sont x et y, ainsi qu'un rabat pour la fermeture.

1. Le fabricant utilise toute la largeur de la bande de carton. On a donc y = 30 - 2x.
a. Expliquer pourquoi on a nécessairement : 0<x<15.
b. Démontrer que le volume V, en cm³, de la boîte est donné par la formule : V = 30x² - 2x³.

2. Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 15] par : f(x) = 30x² - 2x³.
a. Déterminer la fonction dérivée f' de f et étudier le signe de f'(x) sur l'intervalle [0 ; 15].
b. En déduire le tableau des variations de la fonction f sur cet intervalle.

3.a. Reproduire et compléter le tableau de valeurs :

b) Tracer la courbe représentative de la fonction f dans un plan muni d'un repère orthogonal. On prendra 1 cm comme unité en abscisse et 1 cm pour 100 cm³ en ordonnées.

4.a. Pour quelle valeur de x, le volume V est-il maximum ? Quelle est alors la valeur de ce volume ? Quelle particularité présente la boîte dans ce cas-là ?
b. Le fabricant veut que la boîte obtenue ait un volume de 500 cm³ et que x soit inférieur à 10.
Déterminer, à l'aide du graphique, la valeur de x qu'il doit choisir.
Vérifier par le calcul puis calculer la valeur de y correspondante.