Le sujet 2008 - Bac S - Mathématiques - Exercice |
Avis du professeur :
Le sujet conduit au calcul d'une aire comprise entre
deux courbes ainsi qu'à l'étude de la distance entre des points de ces deux
courbes. |
Les courbes Cf et Cg données ci-dessous
représentent respectivement dans un repère orthonormal (O:), les fonctions f et g définies
sur l'intervalle ]0;+[ par : f(x) = lnx
et g(x) = (lnx)2.
1. On cherche à déterminer l'aire A (en unités
d'aire) de la partie du plan hachurée.
On note I = et J =.
a) Vérifier que la fonction F définie sur
l'intervalle ]0;+[ par F(x)=xlnx − x
est une primitive de la fonction logarithme népérien. En déduire I.
b) Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que J = e − 2I.
c) En déduire J.
d) Donner la valeur de A.
2.
Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de
sa démarche même si elle n'aboutit pas.
Pour x appartenant à l'intervalle [1;e], on note M le
point de la courbe Cf d'abscisse x et N le point de
la courbe Cg de même abscisse.
Pour quelle valeur de x la distance MN est maximale ? Calculer la
valeur maximale de MN.
(5 points)
I - L'ANALYSE DU SUJET
L'exercice porte sur la surface comprise entre deux courbes
dans un repère du plan.
Dans un premier temps, on calcule l'aire de cette surface. Dans la seconde
question on cherche l'écart maximal entre les deux courbes.
II - LES NOTIONS DU PROGRAMME
● Intégrale d'une fonction sur un intervalle
● Intégration par partie
● Intégrale et calcul d'aire
● Fonction ln
● Etude des variations d'une fonction
III - LES DIFFICULTES DU SUJET
Penser à utiliser une fonction auxiliaire, et étudier ses variations pour caractériser un maximum (dernière question).
IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE
● Calcul d'une intégrale
● Calculer l'aire de la surface entre deux courbes
● Calculer la distance entre deux points de même abscisse dans un repère
orthonormé
V - LES RESULTATS
1.
a) F est le produit et la somme de fonctions usuelles définies et
dérivables sur ]0;+[, donc F est définie et
dérivable sur ]0;+[.
Soit : F '(x) = lnx
Donc : F est une primitive de la fonction ln
sur ]0;+∞ [.
On en déduit que :
I = elne − e − (1ln1—1)
I = e − e + 1
Soit : I = 1
b)
Soient : ;
alors :
Les fonctions u, v, u ' et v ' sont continues sur ]0;+∞ [, comme produits de fonctions usuelles continues sur ]0;+[.
On peut donc faire une intégration par partie :
Soit : J = e − 2I
c) Des questions précédentes, on déduit que : J = e − 2
d) D'après le tracé de Cf
et Cg : f ≥ g sur
[1;e].
Donc :
A = I − J
A = 1 − (e − 2)
Soit : A = 3 − e.
2. D'après les données :
MN = f(x) − g(x) (pour x ∈ [1;e])
Soit la fonction : h = f − g
Soit : h(x) = f(x) − g(x)
f et g sont définies et dérivables sur [1;e], comme fonctions
usuelles et carré de fonctions usuelles dérivables sur [1;e].
x ∈ [1;e],
donc : x > 0.
Alors h ' a le signe et les zéros de : 1 − 2lnx.
Or :
et
On en déduit le tableau de variation de h :
Conclusion: