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Annales gratuites Bac S : Calcul d'aire

Le sujet  2008 - Bac S - Mathématiques - Exercice Imprimer le sujet
Avis du professeur :

Le sujet conduit au calcul d'une aire comprise entre deux courbes ainsi qu'à l'étude de la distance entre des points de ces deux courbes.
La première partie sur le calcul d'aire est classique, la deuxième est plus délicate. La démarche est ici essentielle et sera valorisée même si elle n'aboutit pas.

LE SUJET


Les courbes Cf et Cg données ci-dessous représentent respectivement dans un repère orthonormal (O:), les fonctions f et g définies sur l'intervalle ]0;+[ par : f(x) = lnx et g(x) = (lnx)2.

1. On cherche à déterminer l'aire A (en unités d'aire) de la partie du plan hachurée.
On note = et =.

a) Vérifier que la fonction F définie sur l'intervalle ]0;+[ par F(x)=xlnx − x est une primitive de la fonction logarithme népérien. En déduire I.
b) Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que J = e − 2I.
c) En déduire J.
d) Donner la valeur de A.

2. Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n'aboutit pas.
Pour x appartenant à l'intervalle [1;e], on note M le point de la courbe Cf  d'abscisse x et N le point de la courbe Cg de même abscisse.
Pour quelle valeur de x la distance MN est maximale ? Calculer la valeur maximale de MN.

(5 points)

LE CORRIGÉ


I - L'ANALYSE DU SUJET

L'exercice porte sur la surface comprise entre deux courbes dans un repère du plan.
Dans un premier temps, on calcule l'aire de cette surface. Dans la seconde question on cherche l'écart maximal entre les deux courbes.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Intégrale d'une fonction sur un intervalle
● Intégration par partie
● Intégrale et calcul d'aire
● Fonction ln
● Etude des variations d'une fonction

III - LES DIFFICULTES DU SUJET

Penser à utiliser une fonction auxiliaire, et étudier ses variations pour caractériser un maximum (dernière question).

IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Calcul d'une intégrale
● Calculer l'aire de la surface entre deux courbes
● Calculer la distance entre deux points de même abscisse dans un repère orthonormé

V - LES RESULTATS

1.
a) F est le produit et la somme de fonctions usuelles définies et dérivables sur ]0;+[, donc F est définie et dérivable sur ]0;+[.

Soit : '(x) = lnx
Donc : F est une primitive de la fonction ln sur ]0;+∞ [.
On en déduit que :

I = elne − e − (1ln1—1)
I = e − e + 1
Soit : I = 1

b)

Soient :  ;

alors  :

Les fonctions u, v, u ' et v ' sont continues sur ]0;+∞ [, comme produits de fonctions usuelles continues sur ]0;+[.

On peut donc faire une intégration par partie :

Soit : J = e − 2I

c) Des questions précédentes, on déduit que : J = e − 2

d) D'après le tracé de Cf et Cg : ≥ g sur [1;e].
Donc :

A = I − J

A = 1 − (e − 2)

Soit : A = 3 − e.

2. D'après les données :
MN = f(x) − g(x)   (pour x  [1;e])
Soit la fonction : h = f − g
Soit : h(x) = f(x) − g(x)
f
et g sont définies et dérivables sur [1;e], comme fonctions usuelles et carré de fonctions usuelles dérivables sur [1;e].

x  [1;e], donc : x > 0.
Alors h ' a le signe et les zéros de : 1 − 2lnx.
Or :

et 

On en déduit le tableau de variation de h :

Conclusion:

 

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