Annales gratuites Bac STG Compta finance : Capacité de production

Une entreprise, qui fabrique et commercialise un produit, a une capacité de production limitée à 3,5 tonnes par jour.
Le coût total de production exprimé en milliers d'euros, pour fabriquer x tonnes de ce produit est noté C(x).
On note R(x) la recette, exprimée en milliers d'euros, obtenue pour x tonnes de produit vendues.
On note B(x) le bénéfice, exprimé en milliers d'euros, obtenu pour x tonnes de produit vendues.
Sur le dessin ci-dessous, on a représenté graphiquement les fonctions C et R.

1. Déterminer le montant en euros des coûts lorsque la production est nulle.

2. Quel est le montant en euros de la recette si l'entreprise produit et vend 0,5 tonne de produit ? Réalise-t-elle un bénéfice dans ce cas ? (Justifier la réponse).

3. Pour quelles valeurs de x, le bénéfice est-il nul ?

4. Déterminer les quantités de produit pour lesquelles l'entreprise est bénéficiaire.

5. Déterminer la quantité de produit qui assure à l'entreprise un bénéfice maximal. Quel est alors ce bénéfice ?

Dans cette partie, on sait que pour x appartenant à [0 ; 3,5], C(x) = x² + 3 et R(x) = 4x.

1. Montrer que B(x) = -x² + 4x - 3.

2. Calculer B'(x), puis étudier son signe sur [0 ; 3,5].

3. Dresser le tableau de variations complet de la fonction B sur [0 ; 3,5] et vérifier le résultat de la question A5.

Des modèles mathématiques au service de la gestion de l'entreprise.

1) C(0) = 3 sur le graphique, donc lorsque la production est nulle, le montant des coûts s'élève à 3 000 €.

2) R(0,5) = 3 sur le graphique, donc pour 0,5 tonnes produites la recette est de 2 000 €.
Pour x = 0,5 on constate sur le graphique que R(0,5) < C(0,5) donc l'entreprise ne réalise pas de bénéfice.

3) B(x) = 0 ssi R(x) = C(x)
D'après le graphique, on obtient x = 1 et x = 3.

4) L'entreprise est bénéficiaire lorsque C(x) < R(x) c'est-à-dire par lecture graphique si 1 < x < 3.

5) Le bénéfice est maximal lorsque R(x) - C(x) est maximal, soit pour x = 2.
B est alors égal à 1 000 €.

1)
C(x) = x² + 3
R(x) = 4x
B(x) = 4x - (x² + 3) = -x² + 4x - 3

2) B'(x) = -2x + 4
B'(x) > 0 ssi -2x + 4 > 0
ssi -2x > -4
ssi x < 2

3) D'où le tableau de variation



On retrouve un bénéfice maximal pour x = 2 égal à 1 000 €.

Il fallait savoir interpréter correctement les graphiques fournis.