Annales gratuites Bac STG Comm. gestion RH : Cout unitaire

Monsieur DUPRE, PDG d'une société fabriquant du mobilier urbain, s'intéresse au coût unitaire de production, en euros, ainsi qu'au bénéfice réalisé pendant une semaine.
On considère qu'il fabrique par semaine x lots de mobilier urbain où x est un entier compris entre 0 et 100.

La courbe donnée en annexe 1 représente le coût unitaire de production f(x) en fonction du nombre x de lots fabriqués.
On fera figurer sur le graphique tous les tracés utiles.

1. Déterminer graphiquement le coût unitaire de production lorsque Monsieur DUPRE fabrique 70 lots.
Quelle autre quantité de lots fabriqués donne le même coût unitaire de production ?

2. Déterminer graphiquement la quantité de lots que l'entreprise doit produire pour que le coût unitaire soit minimal et préciser la valeur de ce coût.

3. On admet que f(x) a pour expression f(x) = x² + bx + 5000.
Déterminer le réel b sachant que le coût unitaire pour 100 lots est de 6600 euros.

1. Montrer que le coût de production C(x) pour x lots produits est C(x) = x³ - 84x² + 5000x.

2. Chaque lot étant vendu 5000 euros, justifier que le bénéfice, exprimé en euros, réalisé lorsque l'entreprise produit et vend x lots est donné par la fonction B définie par :
B(x) = -x³ + 84x²

3. Vérifier que B(x) = x²(84 - x) et en déduire les valeurs de x pour lesquelles B(x) est strictement négatif.
Que va en déduire Monsieur Dupré pour sa production ?

4.a. Déterminer B'(x) où B' désigne la fonction dérivée de la fonction B, puis montrer que B'(x) = 3x(56 - x)
4.b. Etudier le signe de B' (x) pour tout x élément de [0 ; 100] et dresser le tableau de variations de B sur [0 ; 100].
4.c. En déduire le nombre x_M de lots que l'entreprise doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice maximal. Calculer ce bénéfice maximal B_M.

Résolution d'un problème de micro économie.

1. Sur le graphique on lit :
pour 70 lots, coût unitaire de production : 4 300 euros.
Ce coût de production correspond également à une production de 10 lots.

2. Le coût unitaire est minimum lorsque l'on produit 42 lots, il est alors égal à 3 300 euros.

3. On a f(x) = x² + bx + 5 000
et f(100) = 6 600
donc 10 000 + 100b + 5 000 = 6 600
                             100b = - 8 400
                                 b = - 84

1. Le coût de production est égal au coût unitaire multiplié par le nombre de lots produits.
Donc C(x) = (x² - 84x + 5 000) ´  x
             = x³ - 84x² + 5 000x

2. Le bénéfice est égal au prix de vente moins le coût de production.
Le prix de vente est égal à : x ´  5 000 euros
d'où B(x) = 5 000x - (x³ - 84x² + 5 000x)
            = - x³ + 84x²

3. x²(84 - x) = 84x² - x³
                = - x³ + 84x²
                = B(x)
x² ³  0 pour tout x donc B(x) < 0 si et seulement si (84 - x) < 0
                                                                   84 < x
Donc la production ne doit pas excéder 84 lots faute de travailler à perte.

4.a. B(x) = - x³ + 84x²
d'où B ' (x) = - 3x² + 168x
On factorise par 3x et on obtient :
B ' (x) = 3x(56 - x)

4.b. Si
alors B ' (x) est du signe de 56 - x
or 56 - x ³  0
si et seulement si 56 ³  x
d'où le tableau de variation de B sur [0 ; 100]

4.c. L'entreprise doit donc produire et vendre 56 lots pour réaliser un bénéfice maximal qui sera de :
B(56) = 56²(84 - 56)
        = 56² ´  28
        = 87 808 euros

Il fallait bien savoir traduire en termes économiques les calculs proposés.