Annales gratuites Bac STG Compta finance : Fonction exponentielle

(5 points)

Formulaire
Pour tout réel x, et pour tout réel strictement positif a, a^x = e^xln(a)
Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors e^u est une fonction dérivable sur I et (e^u)' = u'e^u

Thomas a 13 ans et demi. Il dispose de 800 € d'économies.
Ses parents décident de placer cet argent sur un compte rémunéré à intérêts composés au taux annuel de 4,5 %.

1. Calculer, au centime d'euro près, le capital dont il disposera au bout de trois ans, c'est-à-dire sa valeur acquise au bout de trois ans.

2. On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 18] par f(x) = 800 x 1,045^x. On note f ' la fonction dérivée de la fonction f.
    a. En utilisant le fait que 1,045^× = e^xln1,045, démontrer que f '(x) = 800 ln(1,045) × 1,045^x
    b. En déduire le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 18].

3. Le nombre f(x) représente la valeur acquise d'un capital de 800 € placé pendant une durée x, en années, au taux annuel de 4,5 %. La courbe représentative C de la fonction f est donnée ci-dessous.
On décide d'utiliser cette courbe pour estimer graphiquement la valeur acquise selon la durée du placement.

    a. Déterminer, avec la précision permise par le graphique, la valeur acquise par le capital lorsque Thomas atteindra sa majorité, soit dans quatre ans et demi.
    b. Combien d'années Thomas devra-t-il patienter pour voir doubler son capital initial ?

I - L'ANALYSE ET LES DIFFICULTES DU SUJET

Utilisation d'une fonction exponentielle pour déterminer la valeur acquise par un capital.
Il fallait passer par les logarithmes pour déterminer dans combien d'années le capital de Thomas aura doublé.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Placement à intérêts composés
● Fonction exponentielle
● Fonction logarithme népérien
● Lecture graphique

III - LES RESULTATS

1. 912,93 €
2. a. f '(x) = 800 ln(1,045) × 1,045^x
    b. f est strictement croissante
3. a. 975 €
    b. 16 ans

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

1. La valeur acquise au bout de trois ans de placement sera de :
800 × 1,045³
Soit 912,93 €

2.f(x) = 800 × 1,045^x

a. f(x) = 800 × e^x ln 1,045
Posons u(x) = x ln 1,045 : on a u'(x) = ln (1,045)
Comme f = 800 e^u : alors f '= 800 u'e^u
On a donc f '(x) = 800 ln (1,045) e^x ln 1,045
D'où f '(x) = 800 ln (1,045) × 1,045^x

b. Sur l'intervalle [0 ; 18] 800 ln (1,045) > 0 et 1,045^x > 0
On en déduit que f '(x) > 0 sur l'intervalle [0 ; 18]
Donc la fonction f est strictement croissante sur cet intervalle.

3.
a. Voir graphique :
Pour déterminer graphiquement la valeur acquise par le capital lorsque Thomas atteindra sa majorité il suffit de lire l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 4,5.
Soit 975 € approximativement.

b. Pour déterminer dans combien d'années le capital placé par Thomas aura doublé, il suffit de résoudre l'inéquation :
                      800 × 1,045^x ≥ 1600

    Ce qui équivaut à

                               1,045^x ≥ 2
On en déduit que ln 1,045^x ≥ ln 2 car la fonction ln est strictement croissante
                  Soit x ln 1,045 ≥ ln 2
                               d'où car ln 1,045 > 0

                               ou x ≥ 15,75
Donc son capital initial aura doublé à partir de la 16ème année.