Le sujet 2009 - Bac S - Mathématiques - Exercice |
Avis du professeur :
Le sujet porte sur l'étude d'une fonction (logarithme et exponentielle) et vise à majorer une aire déterminée par une intégration par parties. Le sujet est dans l'ensemble assez classique même si la comparaison des majorants est plutôt originale. |
(6 points)
Commun à tous les candidats
Soit f la
fonction définie sur l'intervalle
par
f(x) = ln (1+xe-x).
On note f '
la fonction dérivée de la fonction f sur
l'intervalle
.
On
note C la courbe représentative de la fonction f
dans un repère orthogonal. La courbe C est représentée
en annexe 1 (à rendre avec la copie).
PARTIE I
1. Justifier
que
.
2. Justifier que pour tout nombre réel positif x,
le signe de f '(x) est celui de 1—x.
3.
Etudier les variations de la fonction f sur l'intervalle
.
PARTIE II
Soit λ un nombre réel strictement positif. On pose .
On se propose de majorer A(λ) à l'aide de deux méthodes différentes.
1. Première
méthode
a.
Représenter, sur l'annexe jointe (à rendre avec la
copie), la partie du plan dont l'aire en unité d'aire, est
égale à A(λ).
b. Justifier que pour
tout nombre réel λ strictement positif,
A(λ) ≤ λ × f(1).
2. Deuxième
méthode
a. Calculez à l'aide d'une
intégration par parties
en fonction de λ.
b. On admet
que pour tout nombre réel positif u, ln(1+u) ≤ u.
Démontrer alors que, pour tout nombre réel λ
strictement positif, A(λ) ≤ —λe—λ — e—λ
+ 1.
3. Application
numérique
Avec chacune des deux méthodes,
trouver un majorant de A(5), arrondi au centième.
Quelle
méthode donne le meilleur majorant dans le cas où
λ = 5 ?
Annexe 1, Exercice 2 (à rendre avec la copie)
I - L'ANALYSE DU SUJET
Exercice d'analyse assez classique avec calcul et majoration d'intégrale.
II - LES NOTIONS DU PROGRAMME
● Fonctions
usuelles (exponentielle)
● Calcul intégral
III - LES DIFFICULTES DU SUJET
Bien faire le lien, au 2b de la partie II, avec les questions précédentes.
IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE
● Dérivation,
limites, composées de fonctions usuelles
● Etude
des variations d'une fonction
● Intégration par
parties
● Intégration d'une inégalité
entre fonctions
● Interprétation géométrique
d'une intégrale
V - LES RESULTATS
PARTIE I
1.
2.
f ' a le signe de (1—x).
3.
PARTIE II
1.a. Hachurer la partie située entre l'axe (Ox), C et la droite d'équation
b.
2.a.
b.
3. ; la deuxième méthode donne le meilleur majorant.
VI - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES
PARTIE I
1.
Or ln est continue en 1 :
Donc, par composition :
2.
est dérivable sur
,
comme somme, produit et composée de fonctions dérivables
sur
,
donc
.
De
plus : pour tout x de
,
et e—x > 0, donc :
:
Or
ln est dérivable sur
;
donc, par composition :
f
est
dérivable sur
Or, pour tout x de : e—x > 0 et xe—x ≥ 0 ; donc :
; donc : f ' a le signe de (1 — x).
3. D'après
les questions 1 et 2, le tableau de variation de f
est :
PARTIE II
1. Première
méthode :
a. Hachures (annexe 1) :
hachurer la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la
courbe C et la droite d'équation :
b. D'après
la partie I, f admet un maximum sur
en x = 1, donc :
En intégrant cette inégalité sur :
2. Deuxième
méthode
a. On pose : u(x) = x,
et v '(x) = e—x ;
alors
u '(x) = 1 et v(x) = —e—x
(par exemple) ;
u, v, u ' et v '
sont continues sur
,
comme fonctions usuelles ou composées de telles fonctions,
dérivables donc continues sur
.
On
peut alors faire une intégration par parties :
b. On
admet que pour tout u de
:
ln(1+u) ≤ u.
En posant : u = xe—x
(u ≥ 0), il vient alors :
pour tout x
de
,
f(x) ≤ xe—x
Donc,
en intégrant sur
:
Soit : (d'après 2.a.)
3. Application
numérique :
Première méthode :
A(5) ≤ 5f(1)
soit A(5) ≤ 1,57
(arrondi à 10—2 près par
excès)
Deuxième méthode :
A(5) ≤ 1 — 6e—5
soit
A(5) ≤ 0,96
Conclusion :
la deuxième méthode est plus fine, elle donne le
meilleur majorant.