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Annales gratuites Bac S : Fonction logarithme

Le sujet  2009 - Bac S - Mathématiques - Exercice Imprimer le sujet
Avis du professeur :

Le sujet porte sur l'étude d'une fonction (logarithme et exponentielle) et vise à majorer une aire déterminée par une intégration par parties.
Le sujet est dans l'ensemble assez classique même si la comparaison des majorants est plutôt originale.

LE SUJET


(6 points)

Commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur l'intervalle par f(x) = ln (1+xe-x).
On note f ' la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle .
On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal. La courbe C est représentée en annexe 1 (à rendre avec la copie).

PARTIE I

1. Justifier que .
2. Justifier que pour tout nombre réel positif x, le signe de f '(x) est celui de 1—x.
3. Etudier les variations de la fonction f sur l'intervalle .

PARTIE II

Soit λ un nombre réel strictement positif. On pose .

On se propose de majorer A(λ) à l'aide de deux méthodes différentes.

1. Première méthode
a. Représenter, sur l'annexe jointe (à rendre avec la copie), la partie du plan dont l'aire en unité d'aire, est égale à A(λ).
b. Justifier que pour tout nombre réel λ strictement positif, A(λ) ≤ λ × f(1).

2. Deuxième méthode
a. Calculez à l'aide d'une intégration par parties en fonction de λ.

b. On admet que pour tout nombre réel positif u, ln(1+u) ≤ u.
Démontrer alors que, pour tout nombre réel λ strictement positif, A(λ) ≤ —λe—λ — e—λ + 1.

3. Application numérique
Avec chacune des deux méthodes, trouver un majorant de A(5), arrondi au centième.
Quelle méthode donne le meilleur majorant dans le cas où λ = 5 ?

Annexe 1, Exercice 2 (à rendre avec la copie)




LE CORRIGÉ


I - L'ANALYSE DU SUJET

Exercice d'analyse assez classique avec calcul et majoration d'intégrale.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Fonctions usuelles (exponentielle)
● Calcul intégral

III - LES DIFFICULTES DU SUJET

Bien faire le lien, au 2b de la partie II, avec les questions précédentes.

IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Dérivation, limites, composées de fonctions usuelles
● Etude des variations d'une fonction
● Intégration par parties
● Intégration d'une inégalité entre fonctions
● Interprétation géométrique d'une intégrale

V - LES RESULTATS

PARTIE I

1. 

2. 

f ' a le signe de (1—x).

3.

PARTIE II

1.a. Hachurer la partie située entre l'axe (Ox), C et la droite d'équation

   b. 

2.a. 

   b. 

3. ; la deuxième méthode donne le meilleur majorant.

VI - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

PARTIE I

1.

Or ln est continue en 1 :

Donc, par composition :

2.  est dérivable sur , comme somme, produit et composée de fonctions dérivables sur , donc .
De plus : pour tout x de , et ex > 0, donc : :
Or ln est dérivable sur ; donc, par composition :
f est dérivable sur

Or, pour tout x de  : ex > 0 et xex ≥ 0 ; donc :

 ; donc : f ' a le signe de (1 — x).

3. D'après les questions 1 et 2, le tableau de variation de f est :

PARTIE II

1. Première méthode :
a. Hachures (annexe 1) : hachurer la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe C et la droite d'équation :
b. D'après la partie I, f admet un maximum sur en x = 1, donc :

En intégrant cette inégalité sur :

2Deuxième méthode
a. On pose : u(x) = x, et v '(x) = ex ;
alors '(x) = 1 et v(x) = —ex (par exemple) ;
u, v, ' et ' sont continues sur , comme fonctions usuelles ou composées de telles fonctions, dérivables donc continues sur .
On peut alors faire une intégration par parties :

b. On admet que pour tout u de  : ln(1+u) ≤ u.
En posant : u = xex (u ≥ 0), il vient alors :
pour tout x de , f(x) ≤ xex
Donc, en intégrant sur :

Soit : (d'après 2.a.)

3. Application numérique :
Première méthode : A(5) ≤ 5f(1)
soit A(5) ≤ 1,57 (arrondi à 10—2 près par excès)
Deuxième méthode : A(5) ≤ 1 — 6e—5
soit A(5) ≤ 0,96

Conclusion : la deuxième méthode est plus fine, elle donne le meilleur majorant.


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