Annales gratuites Bac S : Géométrie dans l'espace

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal , on considère les points A(1, 1, 0), B(1, 2, 1) et C(3, —1, 2).

1. a) Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
    b) Démontrer que le plan (ABC) a pour équation cartésienne 2x + y — z — 3 = 0.

2. On considère les plans (P) et (Q) d'équations respectives x + 2y — z — 4 = 0 et 2x + 3y — 2z — 5 = 0.
Démontrer que l'intersection des plans (P) et (Q) est une droite (D), dont une représentation paramétrique
est :

3. Quelle est l'intersection des trois plans (ABC), (P) et (Q) ?

4. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
Déterminer la distance du point A à la droite (D).
(5 points)

I - L'ANALYSE DU SUJET

Il s'agit d'un exercice de géométrie dans l'espace muni d'un repère orthonormé. L'essentiel du travail est analytique, et porte sur les équations de plans et droites. La dernière question, plus délicate, se traite facilement à l'aide d'une fonction auxiliaire.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Points alignés et vecteurs colinéaires
● Equation cartésienne d'un plan
● Position relative de deux plans
● Représentation paramétrique d'une droite
● Distance d'un point à une droite

III - LES DIFFICULTES DU SUJET

Les trois premières questions sont simples. En revanche, la question 4 est plus difficile, et se ramène à résoudre un problème d'optimisation, alors qu'on pourrait a priori penser la résoudre de façon plus géométrique.

IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

a) Dans un repère orthonormé de l'espace
● caractériser l'alignement de trois points
● vérifier qu'une équation cartésienne est celle d'un plan connu
● trouver une représentation paramétrique de la droite d'intersection de deux plans
● déterminer l'intersection de trois plans définis par une équation cartésienne
● calculer la distance entre deux points
b) Utiliser une fonction pour rendre minimale une grandeur (distance).
c) Trouver le minimum d'une fonction.

V - LES RESULTATS

1.a) A, B et C ne sont pas alignés.

b) Donc le plan (ABC) a pour équation cartésienne : 2x + y − z − 3 = 0.

2.

3. Donc l'intersection de (ABC), (P) et (Q) est réduite au point J (2;3;4).

4.

VI - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

1.a)

Or : 0 × (-2) = 0 et 1 × 2 = 2 ≠ 0 ; donc les coordonnées de  ne sont pas proportionnelles. Donc  ne sont pas colinéaires, et par suite :
A, B et C ne sont pas alignés.

b) A (1;1;0) et  2 × 1 + 1 − 0 − 3 = 0 ;
B (1;2;1) et  2 × 1 + 2 − 1 − 3 = 0 ;
C (3;-1;2) et  2 × 3 − 1 − 2 − 3 = 0.
Ainsi les coordonnées de A, B et C vérifient l'équation : 2x + y − z − 3 = 0.
Donc le plan (ABC) a pour équation cartésienne : 2x + y − z − 3 = 0.

2. Formons le système des équations cartésiennes de (P) et (Q) :

En pratiquant les combinaisons linéaires : −3L₁ + 2L₂ et −2L₁ + L₂, on obtient :

En posant : z = t, il vient alors :

Ceci prouve que (P) et (Q) sont sécants suivant une droite (D), de représentation paramétrique :

3. D'après la question 2, (P) et (Q) sont sécants suivant la droite (D) ; on cherche alors l'intersection de (D) et (ABC) :
Soit M (-2 + t ;3 ;t) un point quelconque de (D).

Donc l'intersection de (ABC), (P) et (Q) est réduite au point J (2;3;4).

4. La distance de A à (D) est la distance minimale entre A et un point de (D).
Soit M (-2 + t;3;t) un point quelconque de (D).
AM² = (−2 + t − 1)² + (3 − 1)² + (t − 0)²
AM² = (t − 3)² + 4 +t²
AM² = 2t² − 6t + 13
La distance AM est minimale lorsque AM² l'est.
Or AM² est un trinôme du second degré, de la forme : P(t) = at² + bt + c
Puisque : a = 2, a est positif ; donc P admet un minimum sur  en :

Donc AM est minimale pour : .

On en déduit que :

Soit :