Le sujet 2009 - Bac S - Mathématiques - Exercice |
Avis du professeur :
Le sujet commence par une restitution organisée de connaissances utiles au dénombrement et se poursuit par des probabilités. La restitution organisée de connaissances est assez délicate. Les calculs de probabilités sont plutôt classiques. |
(5 points)
Commun à tous les candidats
I. Cette question est une restitution organisée de connaissances.
Démontrer que pour tout nombre entier naturel n et pour tout nombre entier naturel p tels que
II. Un sac
contient 10 jetons indiscernables au toucher :
7 jetons blancs
numérotés de 1 à 7 et 3 jetons noirs numérotés
de 1 à 3.
On tire simultanément deux jetons de ce sac.
1. a. On note
A l'événement "obtenir deux jetons
blancs".
Démontrer que la probabilité de
l'événement A est égale à
.
b. On note B
l'événement "obtenir deux jetons portant des
numéros impairs".
Calculer la probabilité de B.
c. Les événements A et B sont-ils indépendants ?
2. Soit X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de jetons blancs obtenus lors de ce tirage simultané.
a. Déterminer la loi de probabilité de X.
b. Calculer
l'espérance mathématique de X.
I - L'ANALYSE DU SUJET
Restitution
organisée de connaissances de la formule de Pascal.
Suivi
d'un exercice de probabilité utilisant les dénombrements.
II - LES NOTIONS DU PROGRAMME
● Formule de
combinaisons.
●
Evènements indépendants et variable aléatoire.
III - LES DIFFICULTES DU SUJET
● Pour la ROC,
calcul avec les factoriels
●
Pour le reste, raisonner rigoureusement.
IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE
Savoir utiliser les
factoriels.
(n — 1)! × n = n!
Savoir
utiliser les combinaisons.
V - LES RESULTATS
I. Formule de Pascal
II.
1.a.
b.
c. A et B ne sont pas indépendants.
2.a.
xi |
0 |
1 |
2 |
p(X=xi) |
1/15 |
7/15 |
7/15 |
b. E(X) = 1,4
VI - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES
I. ROC
II.
Les
jetons étant indiscernables au toucher, nous sommes en
situation d'équiprobabilité. Pour cela, nous allons
dénombrer les ensembles.
Le tirage étant simultané
on utilisera les combinaisons.
On tire deux jetons du sac parmi
10.
1.a. Pour A, on tire deux jetons parmi 7 jetons blancs.
D'où
b. Pour B, on tire deux jetons parmi les 6 jetons impairs.
D'où
c. Nous allons calculer indépendamment p(A) × p(B) et
est l'evénement : "les deux jetons tirés sont
blancs et impairs."
Pour
on
tire deux jetons parmi les quatre jetons blancs et impairs.
Nous avons par conséquent
Les événements A et B ne sont pas indépendants.
2. a. Les valeurs possibles prises par la variable aléatoire sont 0,1 et 2
D'où la loi de probabilité de X :
xi |
0 |
1 |
2 |
p(X=xi) |
1/15 |
7/15 |
7/15 |
b.
L'espérance
de X est 1,4.