Annales gratuites Bac S : Probabilités

(5 points)

Commun à tous les candidats

I. Cette question est une restitution organisée de connaissances.

Démontrer que pour tout nombre entier naturel n et pour tout nombre entier naturel p tels que

II. Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher :
7 jetons blancs numérotés de 1 à 7 et 3 jetons noirs numérotés de 1 à 3.

On tire simultanément deux jetons de ce sac.

1. a. On note A l'événement "obtenir deux jetons blancs".
Démontrer que la probabilité de l'événement A est égale à .

b. On note B l'événement "obtenir deux jetons portant des numéros impairs".
Calculer la probabilité de B.

c. Les événements A et B sont-ils indépendants ?

2. Soit X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de jetons blancs obtenus lors de ce tirage simultané.

a. Déterminer la loi de probabilité de X.

b. Calculer l'espérance mathématique de X.

I - L'ANALYSE DU SUJET

Restitution organisée de connaissances de la formule de Pascal.
Suivi d'un exercice de probabilité utilisant les dénombrements.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Formule de combinaisons.
● Evènements indépendants et variable aléatoire.

III - LES DIFFICULTES DU SUJET

● Pour la ROC, calcul avec les factoriels
● Pour le reste, raisonner rigoureusement.

IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

Savoir utiliser les factoriels.
(n — 1)! × n = n!
Savoir utiliser les combinaisons.

V - LES RESULTATS

I. Formule de Pascal

II.
1.a.

   b.

   c. A et B ne sont pas indépendants.

2.a.

   b. E(X) = 1,4

VI - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

I. ROC

II.
Les jetons étant indiscernables au toucher, nous sommes en situation d'équiprobabilité. Pour cela, nous allons dénombrer les ensembles.
Le tirage étant simultané on utilisera les combinaisons.
On tire deux jetons du sac parmi 10.

1.a. Pour A, on tire deux jetons parmi 7 jetons blancs.

D'où

   b. Pour B, on tire deux jetons parmi les 6 jetons impairs.

D'où

   c. Nous allons calculer indépendamment p(A) × p(B) et

est l'evénement : "les deux jetons tirés sont blancs et impairs."
Pour on tire deux jetons parmi les quatre jetons blancs et impairs.

Nous avons par conséquent

Les événements A et B ne sont pas indépendants.

2. a. Les valeurs possibles prises par la variable aléatoire sont 0,1 et 2

D'où la loi de probabilité de X :

b.

L'espérance de X est 1,4.