Annales gratuites Bac STG Comm. gestion RH : Probabilités et étude de marché

PARTIE 1

Une entreprise souhaite promouvoir un nouveau produit. Elle estime que la probabilité qu'une personne prise au hasard en connaisse le nom après x semaines de publicité s'exprime par

1) Calculer p(3). Déduire la probabilité qu'une personne prise au hasard ignore le nom du produit après trois semaines de publicité.

2) Résoudre l'équation . Interpréter le résultat obtenu.

3) La formule donnant p(x) permet-elle de confirmer les affirmations ci-dessous ?
a) Avant le lancement de l'opération, personne ne connaît le nom du produit. Justifier

b) Au bout de douze semaines de publicité, tout le monde connaît le nom du produit. Justifier.

PARTIE 2

On considère la fonction f définie sur [0 ; 18] par

1) Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous. On arrondira au centième.

x	0	0,5	1	3	6	12	18
f(x)				0,6

2) Vérifier que pour tout x de[0 ; 18] où f' désigne la fonction dérivée de f.

3) Etudier le signe de f'(x) pour tout x élément de [0 ; 18].
En déduire le tableau des variations de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 18].

4) On désigne par C la courbe représentative de f.
On considère la droite D tangente à C en son point d'abscisse 3. Montrer que D a pour équation y = 0,04x + 0,48.

5) Tracer D puis C dans un repère orthogonal. On prendra 1 cm pour unité sur l'axe des abscisses et 10 cm sur l'axe des ordonnées.

PARTIE 3

1) Compléter le graphique de la partie 2 en traçant la droite d'équation y = 0,66

2) Graphiquement
a) déterminer la durée nécessaire pour que la probabilité exprimée en partie 1 passe de 0,6 à 0,66.

b) déterminer la durée nécessaire pour que la probabilité exprimée en partie 1 passe de 0,66 à 0,72

3) Cette étude explique-t-elle pourquoi l'entreprise a prévu une campagne publicitaire de cinq semaines et demie ?

I - QUEL INTERÊT POUR CE SUJET ?

Etude d'une fonction de probabilité pour se déterminer dans le choix de la durée d'une campagne publicitaire.

II - DEVELOPEMENT

Partie 1

1) p (x) =

p (3) =

est la probabilité cherchée

2) p (x) =
ssi

ssi 6x = 4x + 3

      2x = 3

       

Au bout d'une semaine et demie, la probabilité qu'une personne prise au hasard connaisse le nom du produit est

3) a) Si personne ne connaît le nom avant le lancement de l'opération on doit avoir p(0) = 0, ce qui est le cas.

    b) pour x > 12 on doit avoir p(x)1
or p(x) =
         

Partie 2

1)

x	0	0,5	1	3	6	12	18
f(x)	0
	0	0,33	0,43	0,6	0,66	0,7	0,72

2)

3) Pour tout x [0,18] on a (4x + 3)² > 0
donc f'(x) > 0

d'où le tableau de variation

4) Si x₀ = 3
alors f(x₀) = et f'(x₀) =
l'équation de la tangente à C au point d'abscisse x₀ sera y - f(x₀) = f'(x₀)(x - x₀)
soit y - =
       y = 0,04x + 0,48

5) Voir courbe

Partie 3

1) Voir courbe

2) a) graphiquement, on lit : 6 semaines

    b) graphiquement, on lit : 12 semaines

3) On constate sur le graphique qu'à partir de 5 semaines et demi la fonction p croit très lentement.
Donc l'entreprise fait un choix judicieux en limitant sa campagne à 5 semaines et demi.

III - COMMENTAIRE MATHEMATIQUE

Il fallait bien interpréter le graphique obtenu après l'étude de la fonction.

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