Annales gratuites Bac 1ère L : Evolution du nombre de clients

Exercice 2 (10 points)

Une enquête est réalisée dans un magasin, afin d'étudier l'évolution du nombre mensuel de clients.
Au cours du premier mois, l'enquête montre que 5 000 clients sont venus faire leurs achats dans ce magasin.
On constate que, chaque mois, par rapport au mois précédent, 70% des clients restent fidèles à ce magasin et que 3 000 autres clients apparaissent.
Pour un entier naturel n non nul, on note u_n le nombre de clients venus au cours du n-ième mois de l'enquête.
On a ainsi u₁ = 8 000.
On utilise un tableur pour calculer les premiers termes de la suite (u_n).
La feuille annexe reproduit la feuille de calcul utilisée.

Partie A

1. Calculer le nombre u₂ de clients venus dans ce magasin au cours du deuxième mois.

2. Quelle est la formule à saisir dans la cellule B3, à recopier vers le bas, permettant de calculer les termes de la suite (u_n) ?

3. Quelle formule apparaît dans la cellule B4 lors de la recopie ?

4. Ecrire, dans le tableau de la feuille annexe à rendre avec la copie, les valeurs numériques obtenues dans les cellules B3 et B4.

5.
a. La suite (u_n) est-elle géométrique ? Justifier la réponse.
b. La suite (u_n) est-elle arithmétique ? Justifier la réponse.

Partie B

Le gérant du magasin suppose que l'évolution du nombre mensuel de clients se poursuit suivant le modèle étudié dans la partie A.
Il se demande s'il peut prévoir d'atteindre 10 000 clients par mois.
Pour cela, dans la colonne C de la feuille de calcul précédente, il calcule mensuellement la différence entre cette prévision et le nombre de clients ayant fréquenté le magasin.
Pour un entier naturel n non nul, il note v_n cette différence au n-ième mois.
On a donc pour tout n entier naturel non nul : v_n = 10 000 — u_n.

1.
a. Vérifier que v₁ = 2 000.
b. Quelle est la formule à saisir dans la cellule C2, à recopier vers le bas, permettant de calculer les termes de la suite (v_n) ?
c. Vérifiez que v₂ = 1 400, v₃ = 980 et v₄ = 686.

2. Dans la cellule D3, on a saisi la formule = C3/C2 et on l'a recopiée vers le bas.
a. Compléter les valeurs numériques obtenues dans les cellules D3 et D4 du tableau de la feuille annexe, à rendre avec la copie.
b. Les trois premiers termes de la suite (v_n) sont-ils trois termes consécutifs d'une suite géométrique ? Justifier la réponse.

3. On admet désormais que (v_n) est une suite décroissante et géométrique de raison 0,7.
a. Donner l'expression de v_n en fonction de n.
b. Le gérant estime que son objectif sera atteint lorsque v_n sera inférieur à 50. En utilisant la calculatrice, déterminer à partir de combien de mois le nombre de clients satisfera cette condition.

Tableau avec valeurs numériques

I - L'ANALYSE DU SUJET

Utilisation des suites numériques d'un tableur dans la gestion de l'évolution de la clientèle d'un magasin.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Suite arithmétique
● Suite géométrique
● Tableur Excel

III - LES DIFFICULTES DU SUJET

Le sujet ne permet pas de se rassurer au fur et à mesure. Rien n'indique si on a commis une erreur ou pas, et il faut donc être assez sûr de soi pour avancer en confiance.

IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Savoir reconnaître :
     - une suite géométrique
     - une suite arithmétique
● Utiliser Excel :
     - Saisir une formule
     - Recopier vers le bas

V - LES RESULTATS

Partie A

1.  u₂ = 8 600 

2.

3.

4. Voir tableau

5.
a.

donc la suite n'est pas géométrique

b.

donc la suite n'est pas arithmétique

Partie B

1.
a. v₁ = 2 000

b. = 10 000 — B2

c. v₂ = 10 000 — u₂
 v₂ = 1 400 

 v₃ = 10 000 — u₃ = 980 

 v_{4 =} 10 000 — u₄ = 686 

2.
a. Voir tableau

b.

Les trois premiers termes sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique.

3.
a.

b. A partir du 12ème mois

VI - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

Partie A

1. u₂ = 0,7 u₁ + 3 000

u₂ = 0,7 ´ 8 000 + 3 000

 u₂ = 8 600 

2. Dans la cellule B3, tapez :

puis recopiez cette formule vers le bas

3. Apparaît dans la cellule B4 lors de la recopie la formule suivante :

4. Voir Annexe Exercice 2

5.
a. La suite (u_n) n'est pas géométrique car

En effet

et

b.
La suite (u_n) n'est pas arithmétique car

En effet  u₂ — u₁ = 8 600 — 8 000 = 600

et u₃ — u₂ = 9 020 — 8 600 = 420

Tableau avec valeurs numériques

Partie B :

1. v_n = 10 000 — u_n

a. v₁ = 10 000 — u₁
D'où, v₁ = 10 000 — 8 000

 v₁ = 2 000

b. Dans la cellule C2, tapez :
= 10 000 — B2
Puis recopiez cette formule vers le bas.

c. v₂ = 10 000 — u₂
v₂ = 10 000 — 8 600
 v₂ = 1 400

v₃ = 10 000 — u₃
v₃ = 10 000 — 9 020
 v₃ = 980

v₄ = 10 000 — u₄
v₄ = 10 000 — 9 314
 v₄ = 686

2.
a.(voir feuille annexe)

En D3 :

En D4 :

b. Oui, les trois premiers termes de la suite ( v_n ) sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique car :

 et la raison est 0.7.

3.
a. v_n = v₁´ q ^{n — 1} avec q = 0.7

b. Il faut trouver n pour que : 2 000 ´ 0.7 ^{n — 1}<50

A l'aide d'une calculatrice on obtient :

● pour n = 11 :

● pour n = 12 :

A partir du 12eme mois,v_n est inférieur à 50.