Le sujet 2008 - Bac 1ère L - Maths informatique - Exercice |
Avis du professeur :
Le sujet porte sur le traitement de l'information :
lignes de niveaux et suites numériques. |
Dans cet exercice, les parties 1 et 2 sont indépendantes.
Le dessin ci-dessous reprend une carte d'un massif montagneux dont l'échelle
est précisée. Le relief est représenté par des lignes du niveau dont les
altitudes sont exprimées en mètres.
Partie 1
Un randonneur part du point de départ D pour arriver au sommet S suivant le trajet indiqué sur le dessin.
1. A la lecture de cette carte, le chemin entre les points A et B semble plus pentu que le chemin entre les points B et C. Expliquer pourquoi.
2. Dans le repère donné en ANNEXE 2, le
point D est de coordonnées (0 ; 1 000).
Représenter dans ce repère les points D, A, B, C et
S du trajet indiqué sur le dessin ci-dessus. En reliant les points,
tracer ensuite le profil du parcours du randonneur.
Partie 2
Sur ce parcours, la température diminue de 0,01 degré
Celsius lorsque l'altitude du randonneur augmente de 1 mètre. Au point de départ D, la température est de 25 degré Celsius.
Pour tout entier naturel n, on note un la température
(en degré Celsius) sur le parcours du randonneur à l'altitude
1 000 + n mètres.
1. Justifier que u2 = 24,98. Quelle est la valeur de u10 ?
2. Exprimer un+1 en fonction de un pour tout entier naturel n.
3. Quelle est la nature de la suite ( un ) ? Pour tout entier naturel n, exprimer un en fonction de n.
4. Quelle température fait-il sur le parcours à l'altitude 1 560 mètres ?
5. A partir de quelle altitude la température sera-t-elle inférieure ou égale à 20 degrés Celsius ? Justifier votre réponse.
I - L'ANALYSE DU SUJET
Le sujet porte sur la lecture de données graphiques et sur une situation modélisée par une suite numérique.
II - LES NOTIONS DU PROGRAMME
● Lecture graphique
● Représentation graphique
● Suite arithmétique
III - LES DIFFICULTES DU SUJET
Le cadre inhabituel des courbes de niveaux pouvait surprendre mais il suffisait de procéder avec méthode pour relever les informations de distances parcourues, altitudes, températures.
IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE
● Savoir calculer le énième terme d'une suite arithmétique avec la formule
V - LES RESULTATS
Partie 1 :
1. La lecture graphique nous permet d'affirmer que :
le point A est situé à l'altitude 1200 m
le point B est situé à l'altitude 1300 m
le point C est situé à l'altitude 1400 m
Par ailleurs la distance linéaire qui sépare le point A et le point B est de 500 m et la distance linéaire qui sépare le point B et le point C est de 1 km 500 m.
Donc entre A et B pour monter de 100 m on parcourt 500 m et entre B et C pour monter de 100 m on parcourt 1 km 500 m.
Le chemin entre A et B est plus pentu que celui entre B et C.
2.
Partie 2 :
1. La température au point D
est de 25°C.
D est situé à 1000 m soit 1000 + 0 mètres.
On a donc u0 = 25
D'où u1 = 25 − 0,01 = 24,99
et u2 = 24,99 − 0,01 = 24,98
et u10 = 25 − 10 × 0,01 = 25 − 0,1
u10 = 24,9
2. La température baisse de 0,01 degré lorsque l'altitude augmente de 1 mètre donc
un+1 = un − 0,01 pour tout entier n.
3. La suite est une suite de la forme un+1
= un + r n ∈ ℕ
avec r = − 0,01
donc la suite est une suite arithmétique de raison r
= − 0,01
et de premier terme u0 = 25
On a donc un = u0 + n × r avec
n ∈ ℕ
D'où un = 25 + n × (− 0,01 )
4. L'altitude de 1560 mètres correspond à 1000 + 560 mètres.
Donc la température à l'altitude 1560 m est égale à u560
Or u560 = 25 − 0,01 × 560
u560 = 25 − 5,6
u560 = 19,4 ° C
5. On doit résoudre
un < 20
soit 25 − 0,01 × n < 20
5 < 0,01 × n
n > 500
A partir de l'altitude 1501 mètres la température est strictement inférieur à 20°C.