Annales gratuites Bac 1ère L : Médiathèque

(10 points)

Les deux parties sont indépendantes.

Dans une médiathèque, la direction souhaite renouveler le stock disponible au prêt (notamment en cédéroms, DVD) et augmenter le parc informatique (avec accès Internet) mis à disposition du public. Une des solutions explorée pour trouver les moyens financiers permettant de répondre à cette demande est d'augmenter le nombre d'adhérents.

Partie 1 : Étude de l'évolution du nombre d'adhérents

Dans un premier temps, on étudie l'évolution du nombre d'adhérents en fonction du temps. On appelle u₀ le nombre d'adhérents pour l'année 2000 et u_n le nombre d'adhérents pour l'année (2000 + n).
Le tableau et le graphique ci-dessous représentent l'évolution du nombre d'adhérents entre 2000 et 2006.

1) D'après le graphique, à quel type de croissance, la suite (u_n) correspond-elle ?

2) On remarque que la suite (u_n) est une suite arithmétique de raison 15 et de premier terme u₀ = 210.
a) Calculer u₂.
b) Exprimer u_n+1 en fonction de u_n.
c) Exprimer u_n en fonction de n et de u₀.

3) Dans la cellule  D2, on a placé la raison de la suite.
a) Quelle formule a-t-on pu écrire dans la cellule C4, en utilisant la cellule D2, puis recopier vers le bas jusqu'en C10, pour calculer les termes de la suite ?
b) Si ce modèle de croissance est valable jusqu'en 2008, quel sera le nombre d'adhérents en 2008 ?

PARTIE 2 : Prévisions d'une étude marketing

La direction décide de diminuer légèrement les tarifs d'adhésion afin de favoriser encore l'augmentation du nombre d'adhérents. Une étude marketing estime qu'avec ces nouveaux tarifs, le nombre d'adhérents augmentera de 5% par an après 2006. On appelle v₀, le nombre d'adhérents après 2006 et v_n, le nombre d'adhérents en (2006 + n).

1) a) Calculer v₁ , v₂. Donner les arrondis à l'unité de ces valeurs.
b) A quel type de croissance, la suite (v_n) correspond-elle ?
c) Préciser la nature et la raison de la suite (v_n).
d) Montrer que, pour tout entier naturel n, v_n = 300 (1,05)ⁿ.

2) Quelle formule peut-on utiliser dans la cellule C3, puis recopier vers le bas jusqu'en C8 pour calculer le nombre d'adhérents prévisionnel ?

3) Calculer le pourcentage d'augmentation du nombre d'adhérents entre 2006 et 2012.

PARTIE 1

1. Soit u₀ le nombre d'adhérents pour l'année 2000 et u_n le nombre d'adhérents pour l'année 2000 + n.
Sur le graphique, on constate que les points qui représentent le nombre d'adhérents selon les années, sont alignés, il s'agit donc d'une croissance linéaire.

2. (u_n) est une suite arithmétique avec r, sa raison égale à 15 et son premier terme u₀ = 210

a) on a :
u₂ = u₀ + 2r
u₂ = 210 + 2 × 15 = 210 + 30 = 240
u₂ = 240
b) On sait que, puisque (u_n) est une suite arithmétique, on a :
u_n+1 = u_n + r
d'où ici : u_{n + 1} = u_n + 15 (avec n Є N)

c) On sait aussi que :
u_n = u₀ + n.r (avec n Є N)
et donc :
u_n = u₀ + 15n (avec n Є N)

3.
a) On a pu écrire
= C3 + $D2$

b. Le nombre d'adhérents en 2008 est égal à u₈
soit u₈ = u₀ + 15 × 8 = 210 + 120 = 330
En 2008, il y aura 330 adhérents

PARTIE 2

Soit V₀ le nombre d'adhérents en 2006
V_n en 2006 + n

1.
a) V₁ = 1,05V₀ = 1,05 × 300
V₁ = 315
V₂ = 1,05V₁ = 1,05 × 315 = 331
V₂ = 331 (à une unité près)

b) Il s'agit d'une croissance exponentielle

c) On a :
V_n = 1,05V_n-1 (avec n Є N*)
donc (V_n) est une suite géométrique de premier terme V₀ = 300 et de raison q = 1,05

d) On a donc
V_n = V₀ × qⁿ (avec n Є N)
et donc V_n = 300 × (1,05)ⁿ (avec n Є N)

2. On pourra utiliser la formule
= 1,05 × C2

3. En 2012, il y aura 402 adhérents
 

soit une augmentation de 34%