Annales gratuites Bac S : Tout démontrer ?

Faut-il chercher à tout démontrer ?

Démontrer : c'est l'opération par laquelle on obtient un résultat nécessairement vrai. La démonstration est par excellence la méthode des mathématiques. La démonstration est la méthode d'une connaissance incontestable si bien qu'elle a toujours été un idéal de connaissance. Pour Leibniz, par exemple, toutes les questions devaient pouvoir se résoudre par un seul mot d'ordre : calculemus, calculons !

Chercher à démontrer est l'idéal de toute connaissance toutefois la démonstration n'est possible qu'à partir de données précises qui sont le nombre et la mesure. Toute la réalité humaine ne peut être exprimée de façon complète et satisfaisante sous cette forme. Dès lors chercher à tout démontrer est une tâche impossible, même si au XVIIème siècle on a pu penser y parvenir.

Il convient de définir l'opération de la démonstration. Celle-ci consiste à tirer nécessairement, c'est-à-dire selon une règle, une proposition d'une autre proposition connue comme vraie, qu'elle soit ou non démontrée.

Pour pouvoir faire une telle opération, il faut pouvoir exprimer toute la réalité sous la forme d'un nombre ou d'une variable numérique comme le fait, par exemple, la physique mathématique depuis Galilée. Galilée formulait la chute de n'importe quel corps dans l'espace par une équation e = 1/2 gt² où e désigne l'espace parcouru par un corps, g la constante gravitationnelle c'est-à-dire la force à laquelle ce corps est soumis et t le temps de la chute. Cette formule est le résultat d'une démonstration et nous donne une connaissance exacte, rigoureuse et constante du réel.

Ce modèle valable pour la physique a longtemps été un idéal pour toutes les autres disciplines. Au point que la qualité même de science augmentait avec le pouvoir de quantification et le pouvoir de démonstration. Toutefois dès que l'on sort d'un certain type d'objet, comme les phénomènes physiques, il apparaît difficile de généraliser le modèle de la démonstration. Démontrer suppose en effet qu'on s'appuie sur des objets et des termes toujours identiques à eux-mêmes, comme par exemple le nombre. Mais beaucoup de phénomènes résistent à un tel traitement et notamment les phénomènes humains. On peut certes les quantifier, comme on donne par exemple, une expression arithmétique de l'intelligence, le fameux QI, mais ce faisant on perd leur dimension qualitative. Si l'on peut soumettre le nombre et la mesure à une démonstration, il n'en va pas de même pour les qualités des objets. C'est pour cela que Pascal distinguait l'esprit de géométrie et l'esprit de finesse. L'esprit de géométrie ne connaît que par raison et démonstration, alors que l'esprit de finesse connaît avec le cœur. Aujourd'hui nous dirions qu'à côté de la démonstration, existe une compréhension des phénomènes qui ne passe pas par le modèle logico-mathématique de la démonstration. Cela s'applique aux phénomènes qui présentent des variations pas toujours explicables rationnellement et pour lesquels existent des modèles d'explication moins rigoureux mais fort utiles.

Si la science moderne a renoncé à étendre la démonstration comme type de connaissance à tous les objets possibles, il n'en demeure pas moins que le modèle logico-mathématique de la connaissance imprègne encore les esprits. Einstein ne désespérait pas de trouver une formule qui exprime à elle seule la totalité du monde des phénomènes. Mais cet idéal reste régulateur au sens kantien, il guide la connaissance comme un horizon inatteignable guide le marcheur. Vouloir en faire le but de la science ne serait pas loin d'un délire de toute-puissance.

On voit mal comment mal interpréter un sujet comme celui-ci, clair et sans piège, mais la brièveté de la formulation laissant une marge de raisonnement à gérer avec subtilité.

Un sujet qui doit permettre aux élèves des séries scientifiques de montrer que la philosophie leur a donné un peu de recul sur leurs pratiques.