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Annales gratuites Bac S : Détection d'exoplanètes

Le sujet  2009 - Bac S - Physique - Exercice Imprimer le sujet
Avis du professeur :
Le sujet étudie d'une part le télescope de Newton puis la détection de 2 exoplanètes avec ce télescope et une méthode photométrique.
Sujet assez difficile : le télescope n'est pas le sujet préféré des élèves et la partie 2 comporte un calcul volumineux et délicat.

LE SUJET


Détection d'exoplanètes
(4 points)

La première exoplanète, planète gravitant autour d'une autre étoile que le Soleil, a été détectée en 1995.
Avec les instruments actuels, la détection "directe" des exoplanètes n'est guère possible. En effet, d'après Michel Mayor, un des grands spécialistes du sujet, observer une exoplanète reviendrait à essayer de distinguer à 1 000 km une flamme de bougie près d'un phare.
Différents moyens sont employés pour "deviner" l'existence de ces planètes si éloignées de nous. En décembre 2006, le satellite Corot, équipé d'un télescope et de différents instruments de mesure, a été mis en orbite avec pour objectif la détection et l'étude de nouvelles exoplanètes. En mai 2007, un communiqué de presse annonce le succès des premières opérations de Corot : une nouvelle exoplanète a été découverte. Les résultats à venir sont très attendus par les scientifiques aussi bien que par le grand public.

D'après Science magazine et Internet

La première partie de cet exercice montre que la présence d'une exoplanète ne peut pas être détectée par un télescope classique.
La deuxième partie montre que l'on peut détecter une exoplanète en observant ses passages périodiques devant son étoile.

1. Observation au télescope
A la lecture des différents articles scientifiques, Julie et Léa, deux jeunes astronomes amateurs, décident d'observer avec leur télescope une exoplanète et son étoile hôte. Grâce à une base de données d'exoplanètes disponible sur Internet, elles choisissent le couple HD 209458 située dans la constellation de Pégase.
Julie et Léa pointent leur télescope dans la direction souhaitée et après vérification des réglages, observent l'étoile mais sans sa compagne... Analysons le problème sans tenir compte de la luminosité de l'étoile par rapport à l'exoplanète.
Un extrait de la fiche technique du télescope utilisé pour leurs observations est donné si dessous :

Télescope de Newton

Diamètre :

300 mm

Distance focale du miroir primaire :

f1 = 1200 mm

Distance focale de l'oculaire :

f2 = 30 mm


Le schéma du télescope est représenté sur la Figure 3 de l'annexe.
On note :
(M1), le miroir sphérique concave d'axe optique , de sommet S et de foyer F1
(M2), le miroir secondaire plan incliné de 45° par rapport à
et (L), l'oculaire assimilable à une lentille mince convergente de foyers F2 et F '2 et d'axe optique '.

Le couple étoile - exoplanète situé à l'infini est noté AB et son diamètre apparent α. L'image de AB donnée par le miroir primaire (M1) est notée A1B1

1.1 Indiquer, en justifiant, la position du foyer F1 sur la Figure 3 de l'annexe

1.2 On rappelle que le diamètre apparent α est l'angle sous lequel l'œil de l'observateur voit l'objet. Donner son expression en fonction de A1B1 et f1. On considère que α étant petit, tan α = α avec α exprimé en radians.

1.3 On note A2B2 l'image de A1B1 donnée par le miroir plan (M2).
      1.3.1 Sur la Figure 3 de l'annexe, indiquer la position de l'image A2B2 donnée par le miroir plan de l'image intermédiaire A1B1
      1.3.2 Quelle relation existe-t-il entre les longueurs A1B1 et A2B2 ?

1.4 Le réglage du télescope étant afocal, l'image A2B2 se forme dans le plan focal objet de l'oculaire. On appelle A'B' l'image de l'objet A2B2 donnée par l'oculaire.
      1.4.1 Où se trouve l'image définitive A'B' du couple étoile - exoplanète ?
      1.4.2 Justifier la réponse précédente après avoir fait le tracé sur la Figure 3 de l'annexe, deux rayons lumineux caractéristiques, à partir du point B2, traversant l'oculaire (L).

1.5 Etude du grossissement
      1.5.1 Faire figurer sur la Figure 3 de l'annexe, le diamètre apparent α ' sous lequel est vu le couple étoile - exoplanète à travers le télescope.
      1.5.2 Exprimer α ' en fonction de A2B2 et de f2. On considère que, α ' étant petit, tan α ' = α ' avec α ' exprimé en radians.
      1.5.3 Le grossissement Gr d'un instrument d'optique est défini par la relation

Montrer que. Calculer la valeur de ce rapport.

1.6 On considère que deux points sont aisément discernables à l'œil nu s'ils sont observés sous un diamètre apparent supérieur ou égal à 3,5×10-4 rad.

Document 1 : Caractéristique du couple étoile - exoplanète :

Exoplanète HD 209458 b

Etoile hôte : HD 209458

Distance moyenne à son étoile : 0.045u.a Type : "Hot Jupiter", planète semblable à Jupiter mais très proche de son étoile

Distance à la Terre : 153 années de lumière

   1 unité astronomique : 1u.a = 150×10 6 km ; 1 année lumière : 1 a.l = 9.5×10 15 m

      1.6.1 En vous aidant des caractéristiques du couple étoile - exoplanète données dans le document 1, estimer la valeur du diamètre apparent α sous lequel est vu le couple étoile-exoplanète à l'œil nu.
      1.6.2 Calculer la valeur du diamètre apparent α ' sous lequel est vu le couple étoile - exoplanète à travers le télescope.
      1.6.3 Montrer que même si la luminosité de l'étoile hôte n'était pas si importante, Léa et Julie n'auraient pas pu obtenir l'image où l'étoile et sa compagne seraient séparées.

2. Méthode des transits
Figure 4 : Passage de la planète devant son étoile hôte.

Comme on l'a vu précédemment, on ne peut pas détecter de manière directe la présence d'une exoplanète autour d'une étoile. La méthode des transits peut alors être utilisée en se servant d'un photomètre à la sortie du télescope ; cet instrument permet de mesurer la luminosité de l'astre observé. Dans le cas présent, le passage répété d'une planète (figure 4) devant son étoile provoque une diminution périodique de la luminosité de l'étoile. Par exemple la mesure de la luminosité de l'étoile HD 209458 en fonction du temps conduit au graphe de la figure 5.

Figure 5 : Evolution temporelle de la luminosité de l'étoile HD 209458

Document 2 : Caractéristiques du couple étoile - exoplanète :

Exoplanète HD 209458 b

Etoile hôte : HD 209458

Masse : M b = 0.69 × M J
MJ étant la masse de Jupiter

Masse : M = 1.057 × Ms
Ms étant la masse du Soleil

Constante de la gravitation universelle : G = 6.67 × 10 -11(S.I.)
Masse du soleil : M
s = 2.00×10 30 kg ; Masse de Jupiter : MJ = 1.90 ×10 27 kg
1 jour = 86 400 s.

2.1. D'après la figure 5, quelle est la période de révolution T de la planète HD 209458 b ? Exprimer cette période T en secondes.

2.2. En utilisant la troisième loi de Kepler et les données du document 2, calculer la valeur du demi grand axe a de l'ellipse parcourue par la planète autour de son étoile. Comparer avec la valeur de la distance moyenne de la planète à son étoile donnée dans le document 1.

Rappel : La troisième loi de Kepler donne une relation entre la période de révolution T de la planète, le demi grand axe a de l'orbite elliptique de la planète autour de son étoile et la masse M de l'étoile :



]


LE CORRIGÉ


I - LES RESULTATS

1.1. F1 = A1 (voir schéma)

1.2.

1.3.1. A2 B2 est symétrique de A1B1 par rapport au miroir plan.
1.3.2. A2 B2 = A1B1.
1.4.1. A'B' à l'infini.
1.4.2. Les rayons B2O et B2H' (parallèle à ) émergent parallèles entre eux : B' à l'infini.
1.5.1. Voir schéma.

1.5.2.

1.5.3.

1.6.1.
1.6.2.
1.6.3. est très inférieur à 3,5.10-4 rad : étoile et exoplanète ne peuvent être observés séparées.

2.1. T = 3,5 jours.
2.2. a = 6,9.109 m.
       d = 6,8.109 m.
       a ≈ d.

II - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

1. Observation au télescope
1.1.
Les rayons lumineux
L'objet A (sur l'axe optique et à l'infini) a pour image A1 = F1, foyer du miroir concave.

1.2. L'angle étant petit :

Prolongez le rayon incident (qui passe par A1 = F1) : il émerge parallèle à, en passant par B1 et considérez le triangle A1SH.
(Avec SH = A1B1 et SA1 = SF1 = f1)
Voir schéma.
1.3.1. A2B2, image de A1B1 donnée par le miroir plan est SYMETRIQUE de A1B1 par rapport au miroir plan : voir schéma.
1.3.2. A2B2 = A1B1, d'après la propriété précédente.
1.4.1. A2B2 étant dans le plan focal objet de l'oculaire L, son image A'B' est à l'INFINI.
1.4.2. Pour obtenir l'image B'1 de B2, on trace deux rayons caractéristiques, à partir de B2 :
● le rayon B2O passant par le centre optique de L, n'est pas dévié.
● le rayon B
2H', parallèle à l'axe optique, émerge de L en passant par le foyer image F '2.
F '2 est symétrique de F2 par rapport à l'oculaire L.
Ces deux rayons sont PARALLELES entre eux : l'image B' (de B2) est bien à l'INFINI et donc A'B' aussi.

1.5.1 Voir schéma
1.5.2. Dans le triangle A2B2O, l'angle
1.5.3. Le grossissement du télescope

Voir 1.5.2 et1.2.
Or A2B2 = A1B1
Voir 1.3.2.

Donc

f1 = 1 200 mm        f2 = 30 mm
Donc Gr = 40.

1.6.1.

Schéma simplifié tenant compte des distances énormes mises en jeu :

Donc

        
Il fallait convertir les deux distances en mètre.

1.6.2. Le grossissement Gr du télescope est défini par

Le diamètre apparent sous lequel est vu le couple étoile-exoplanète à l'œil nu est donc :

1.6.3. Deux points ne sont discernables à l'œil nu que s'ils sont observés sous un diamètre apparent supérieur ou égal à 3,5.10-4rad.

.

Donc Léa et Julie ne peuvent absolument pas obtenir une image où l'étoile et sa compagne sont séparées.

2.1. D'après la figure 5, la période de révolution de la planète est T = 3,5 jours.
T est aussi le temps écoulé entre deux diminutions de luminosité de l'étoile (occultée par la planète).
2.2. D'après la troisième loi de Kepler,

T = période de révolution de la planète = 3,5 jours.
M = masse de l'étoile hôte = 1,057 × Ms.

α = 6,9 × 109 m.
On ne garde que deux chiffres significatifs, comme la valeur la moins précise T.
Or la distance moyenne étoile-planète donnée au Document 1 était
d = 0,045 u.a. = 0,045 × 150 × 109 m.
d = 6,75 × 109 m soit 6,8.109m.
avec deux chiffres significatifs.
Donc α ≈ d.

III - LES CONNAISSANCES ET SAVOIR-FAIRE EXIGIBLES

● Pour une lentille :
   Þ positionner sur l'axe optique le centre optique et les foyers
   Þ connaître la définition de la distance focale, de la vergence et leurs unités
   Þ construire l'image d'un objet plan perpendiculaire à l'axe optique

● Pour un miroir sphérique :
   Þ connaître la définition de la distance focale

Construire l'image intermédiaire et l'image définitive d'un objet plan perpendiculaire à l'axe optique.
● Savoir définir et calculer le diamètre apparent.
● La définition du grossissement étant donnée, savoir l'utiliser et exploiter son expression.

IV - DELIMITATION DE L'EXERCICE

Le télescope (ou tout sujet d'optique de spécialité) n'était pas tombé depuis 2003 !
La partie 1 était, somme toute, assez simple, hormis quelques problèmes d'unité avec les mètres, kilomètres, unités astronomiques et années de lumière !
Un petit tour avec la 3ème loi de Kepler dans la partie 2 : là, c'était du sérieux au niveau calcul... Mais c'était la dernière question.
Cet exercice était donc bien dosé entre théorie et technique de pointe, et portait sur un sujet "à la mode" dans le monde scientifique, les exoplanètes ; un bon exercice.


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