Le sujet 2009 - Bac S - Physique - Exercice |
Avis du professeur :
Le sujet étudie d'une part le télescope de Newton puis la détection de 2 exoplanètes avec ce télescope et une méthode photométrique. Sujet assez difficile : le télescope n'est pas le sujet préféré des élèves et la partie 2 comporte un calcul volumineux et délicat. |
Détection
d'exoplanètes
(4 points)
La première
exoplanète, planète gravitant autour d'une autre étoile
que le Soleil, a été détectée en
1995.
Avec les instruments actuels, la détection "directe"
des exoplanètes n'est guère possible. En effet, d'après
Michel Mayor, un des grands spécialistes du sujet, observer
une exoplanète reviendrait à essayer de distinguer à
1 000 km une flamme de bougie près d'un phare.
Différents
moyens sont employés pour "deviner" l'existence
de ces planètes si éloignées de nous. En
décembre 2006, le satellite Corot, équipé d'un
télescope et de différents instruments de mesure, a été
mis en orbite avec pour objectif la détection et l'étude
de nouvelles exoplanètes. En mai 2007, un communiqué de
presse annonce le succès des premières opérations
de Corot : une nouvelle exoplanète a été
découverte. Les résultats à venir sont très
attendus par les scientifiques aussi bien que par le grand public.
D'après Science magazine et Internet
La première
partie de cet exercice montre que la présence d'une exoplanète
ne peut pas être détectée par un télescope
classique.
La deuxième partie montre que l'on peut détecter
une exoplanète en observant ses passages périodiques
devant son étoile.
1. Observation au
télescope
A la lecture des différents articles
scientifiques, Julie et Léa, deux jeunes astronomes amateurs,
décident d'observer avec leur télescope une exoplanète
et son étoile hôte. Grâce à une base de
données d'exoplanètes disponible sur Internet, elles
choisissent le couple HD 209458 située dans la
constellation de Pégase.
Julie et Léa pointent leur
télescope dans la direction souhaitée et après
vérification des réglages, observent l'étoile
mais sans sa compagne... Analysons le problème sans tenir
compte de la luminosité de l'étoile par rapport à
l'exoplanète.
Un extrait de la fiche technique du télescope
utilisé pour leurs observations est donné si dessous :
Télescope de Newton |
|
Diamètre : |
300 mm |
Distance focale du miroir primaire : |
f1 = 1200 mm |
Distance focale de l'oculaire : |
f2 = 30 mm |
Le schéma
du télescope est représenté sur la Figure 3
de l'annexe.
On note :
●
(M1), le miroir sphérique concave d'axe optique
∆, de sommet S et de foyer F1
●
(M2), le miroir secondaire plan incliné de 45°
par rapport à ∆
●
et (L), l'oculaire assimilable à une lentille
mince convergente de foyers F2 et F '2
et d'axe optique ∆'.
Le couple étoile - exoplanète situé à l'infini est noté AB et son diamètre apparent α. L'image de AB donnée par le miroir primaire (M1) est notée A1B1
1.1 Indiquer, en justifiant, la position du foyer F1 sur la Figure 3 de l'annexe
1.2 On rappelle que le diamètre apparent α est l'angle sous lequel l'œil de l'observateur voit l'objet. Donner son expression en fonction de A1B1 et f1. On considère que α étant petit, tan α = α avec α exprimé en radians.
1.3 On note
A2B2 l'image de A1B1
donnée par le miroir plan (M2).
1.3.1
Sur la Figure 3 de l'annexe, indiquer la position de l'image
A2B2 donnée par le miroir
plan de l'image intermédiaire A1B1
1.3.2 Quelle relation
existe-t-il entre les longueurs A1B1
et A2B2 ?
1.4 Le
réglage du télescope étant afocal, l'image A2B2
se forme dans le plan focal objet de l'oculaire. On appelle
A'B' l'image de l'objet A2B2
donnée par l'oculaire.
1.4.1
Où se trouve l'image définitive A'B' du
couple étoile - exoplanète ?
1.4.2
Justifier la réponse précédente après
avoir fait le tracé sur la Figure 3 de l'annexe, deux
rayons lumineux caractéristiques, à partir du point B2,
traversant l'oculaire (L).
1.5 Etude du
grossissement
1.5.1
Faire figurer sur la Figure 3 de l'annexe, le diamètre
apparent α ' sous lequel est vu le couple étoile -
exoplanète à travers le télescope.
1.5.2
Exprimer α ' en fonction de A2B2
et de f2. On considère que, α '
étant petit, tan α ' = α '
avec α ' exprimé en radians.
1.5.3
Le grossissement Gr d'un instrument d'optique est défini par
la relation
Montrer que. Calculer la valeur de ce rapport.
1.6 On considère que deux points sont aisément discernables à l'œil nu s'ils sont observés sous un diamètre apparent supérieur ou égal à 3,5×10-4 rad.
Document 1 : Caractéristique du couple étoile - exoplanète :
Exoplanète HD 209458 b |
Etoile hôte : HD 209458 |
Distance moyenne à son étoile : 0.045u.a Type : "Hot Jupiter", planète semblable à Jupiter mais très proche de son étoile |
Distance à la Terre : 153 années de lumière |
1 unité astronomique : 1u.a = 150×10 6 km ; 1 année lumière : 1 a.l = 9.5×10 15 m
1.6.1
En vous aidant des caractéristiques du couple étoile -
exoplanète données dans le document 1,
estimer la valeur du diamètre apparent α sous lequel est
vu le couple étoile-exoplanète à l'œil
nu.
1.6.2 Calculer la
valeur du diamètre apparent α ' sous lequel est vu
le couple étoile - exoplanète à travers le
télescope.
1.6.3
Montrer que même si la luminosité de l'étoile
hôte n'était pas si importante, Léa et Julie
n'auraient pas pu obtenir l'image où l'étoile et sa
compagne seraient séparées.
2. Méthode
des transits
Figure 4 : Passage de la
planète devant son étoile hôte.
Comme on l'a vu précédemment, on ne peut pas détecter de manière directe la présence d'une exoplanète autour d'une étoile. La méthode des transits peut alors être utilisée en se servant d'un photomètre à la sortie du télescope ; cet instrument permet de mesurer la luminosité de l'astre observé. Dans le cas présent, le passage répété d'une planète (figure 4) devant son étoile provoque une diminution périodique de la luminosité de l'étoile. Par exemple la mesure de la luminosité de l'étoile HD 209458 en fonction du temps conduit au graphe de la figure 5.
Figure 5 : Evolution temporelle de la luminosité de l'étoile HD 209458
Document 2 : Caractéristiques du couple étoile - exoplanète :
Exoplanète HD 209458 b |
Etoile hôte : HD 209458 |
Masse : M b = 0.69
× M J |
Masse : M = 1.057 × Ms |
Constante de la
gravitation universelle : G = 6.67 ×
10 -11(S.I.)
Masse du soleil :
Ms = 2.00×10 30
kg ; Masse de Jupiter : MJ = 1.90
×10 27 kg
1 jour = 86 400 s.
2.1. D'après la figure 5, quelle est la période de révolution T de la planète HD 209458 b ? Exprimer cette période T en secondes.
2.2. En utilisant la troisième loi de Kepler et les données du document 2, calculer la valeur du demi grand axe a de l'ellipse parcourue par la planète autour de son étoile. Comparer avec la valeur de la distance moyenne de la planète à son étoile donnée dans le document 1.
Rappel : La troisième loi de Kepler donne une relation entre la période de révolution T de la planète, le demi grand axe a de l'orbite elliptique de la planète autour de son étoile et la masse M de l'étoile :
]
I - LES RESULTATS
1.1. F1 = A1 (voir schéma)
1.2.
1.3.1. A2
B2 est symétrique de A1B1
par rapport au miroir plan.
1.3.2. A2
B2 = A1B1.
1.4.1.
A'B' à l'infini.
1.4.2. Les rayons B2O
et B2H' (parallèle à
)
émergent parallèles entre eux : B' à
l'infini.
1.5.1. Voir schéma.
1.5.2.
1.5.3.
1.6.1.
1.6.2.
1.6.3.
est très inférieur à 3,5.10-4 rad : étoile
et exoplanète ne peuvent être observés séparées.
2.1. T = 3,5
jours.
2.2.
a = 6,9.109 m.
d = 6,8.109 m.
a ≈ d.
II - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES
1. Observation au
télescope
1.1. Les rayons lumineux
L'objet A (sur
l'axe optique ∆ et à l'infini) a pour image A1 = F1,
foyer du miroir concave.
1.2. L'angle étant petit :
Prolongez
le rayon incident (qui passe par
A1 = F1) : il
émerge parallèle à,
en passant par B1 et considérez le triangle A1SH.
(Avec
SH = A1B1 et SA1 = SF1 = f1)
Voir
schéma.
1.3.1. A2B2, image de
A1B1 donnée par le miroir plan est
SYMETRIQUE de A1B1 par rapport au miroir plan :
voir schéma.
1.3.2. A2B2 = A1B1,
d'après la propriété précédente.
1.4.1.
A2B2 étant dans le plan focal objet de
l'oculaire L, son image A'B' est à l'INFINI.
1.4.2.
Pour obtenir l'image B'1 de B2, on trace deux
rayons caractéristiques, à partir de B2 :
● le
rayon B2O
passant par le centre optique de L, n'est pas dévié.
● le
rayon B2H',
parallèle à l'axe optique,
émerge de L en passant par le foyer image F '2.
F '2
est symétrique de F2
par rapport à l'oculaire L.
Ces
deux rayons sont PARALLELES entre eux : l'image B' (de B2)
est bien à l'INFINI et donc A'B' aussi.
1.5.1 Voir
schéma
1.5.2. Dans le triangle A2B2O,
l'angle
1.5.3.
Le grossissement du télescope
Voir
1.5.2 et1.2.
Or A2B2 = A1B1
Voir
1.3.2.
Donc
f1 = 1 200 mm f2 = 30 mm
Donc
Gr = 40.
1.6.1.
Schéma simplifié tenant compte des distances énormes mises en jeu :
Donc
Il
fallait convertir les deux distances en mètre.
1.6.2. Le grossissement Gr du télescope est défini par
Le diamètre
apparent sous lequel est vu le couple étoile-exoplanète
à l'œil nu est donc :
1.6.3. Deux points ne sont discernables à l'œil nu que s'ils sont observés sous un diamètre apparent supérieur ou égal à 3,5.10-4rad.
.
Donc Léa et Julie ne peuvent absolument pas obtenir une image où l'étoile et sa compagne sont séparées.
2.1. D'après
la figure 5, la période de révolution de la planète
est T = 3,5 jours.
T
est aussi le temps écoulé entre deux diminutions de
luminosité de l'étoile (occultée par la
planète).
2.2. D'après
la troisième loi de Kepler,
T = période
de révolution de la planète = 3,5
jours.
M = masse de l'étoile hôte = 1,057 × Ms.
α = 6,9 × 109 m.
On
ne garde que deux chiffres significatifs, comme la valeur la moins
précise T.
Or la distance moyenne
étoile-planète donnée au Document 1
était
d = 0,045 u.a. = 0,045 × 150 × 109 m.
d = 6,75 × 109 m soit
6,8.109m.
avec deux chiffres significatifs.
Donc
α ≈ d.
III - LES CONNAISSANCES ET SAVOIR-FAIRE EXIGIBLES
● Pour une
lentille :
Þ
positionner sur l'axe optique le centre optique et les foyers
Þ
connaître la définition de la distance focale, de la
vergence et leurs unités
Þ
construire l'image d'un objet plan perpendiculaire à l'axe
optique
● Pour un
miroir sphérique :
Þ
connaître la définition de la distance focale
Construire l'image
intermédiaire et l'image définitive d'un objet plan
perpendiculaire à l'axe optique.
● Savoir définir
et calculer le diamètre apparent.
● La définition
du grossissement étant donnée, savoir l'utiliser et
exploiter son expression.
IV - DELIMITATION DE L'EXERCICE
Le télescope
(ou tout sujet d'optique de spécialité) n'était
pas tombé depuis 2003 !
La partie 1 était, somme
toute, assez simple, hormis quelques problèmes d'unité
avec les mètres, kilomètres, unités
astronomiques et années de lumière !
Un petit tour
avec la 3ème loi de Kepler dans la partie 2 : là,
c'était du sérieux au niveau calcul... Mais c'était
la dernière question.
Cet exercice était donc bien
dosé entre théorie et technique de pointe, et portait
sur un sujet "à la mode" dans le monde scientifique,
les exoplanètes ; un bon exercice.