Gravitation universelle et satellites

2. Texte d'Isaac Newton (physicien anglais 1642- 1726) sur la loi de gravitation universelle

Dans cette partie, on étudie le mouvement du satellite Callisto par rapport à la planète, Jupiter.

Données :

- constante de gravitation universelle:  ;

- la planète Jupiter de centre J et son satellite Callisto de centre C sont des astres que l'on considère à répartition de masse à symétrie sphérique ;

- La masse de Jupiter est égale à et celle de Callisto est notée  ;

- Callisto décrit autour de Jupiter une orbite circulaire de rayon r= 1,88 x 10km.

Le mouvement de Callisto est étudié dans e référentiel galiléen lié au centre de Jupiter, appelé référentiel jovicentrique.

2.1. Sans souci, d'échelle, représenter sur un schéma la force exercée par Jupiter sur le satellite Callisto en orbite circulaire autour de Jupiter.

2.2. À propos des forces, donner la signification de chacune des deux parties de phrase en gras à la lin du texte de Newton.

2.3. En utilisant les notations de l'énoncé, donner l'expression vectorielle de la force. On note un vecteur unitaire de la droite (JC) dirigé de J vers C

2.4. En appliquant la seconde loi de Newton à Callisto, déterminer l'expression du vecteur accélération, de son centre C.

2.5. On considère que le mouvement de Callisto est uniforme sur son orbite. On note la vitesse du centre C du satellite Callisto. Donner l'expression de l'accélération du centre C de Callisto en fonction de et r.

2.6. Montrer que la vitesse v, peut s'exprimer par :

2.7. Étude de la période de révolution du satellite Callisto autour du Jupiter

2.7.1. Déterminer l'expression de la période de révolution du satellite Callisto autour de Jupiter en fonction de G, et r.

2.7.2. Calculer la valeur de cette période.

3. Texte de Galilée (physicien italien 1564 -1642) sur la découverte de quatre satellites de Jupiter

En 1610. Galilée découvre Io, Europe, Ganymède et Callisto, quatre satellites de Jupiter qu'il observe à l’aide de sa lunette astronomique. Il relate ainsi ses observations dans un ouvrage, Le messager des étoiles, dans lequel il dessine également ce qu’il voit. Sur ses schémas, Galilée note «Ori.» la direction «Est» et «Occ.» la direction «Ouest».

« Le 7 janvier de cette année 1610, à la première heure de la nuit, alors que j'observais les étoiles à la lunette, Jupiter se présenta, et comme je disposais d'un instrument tout à fait excellent je reconnus que trois petites étoiles, il est vrai toutes petites mais très brillantes, étaient près de la planète [...]. Je pensais que c'étaient des étoiles fixes mais quelque chose m’étonnait : elles semblaient disposées en ligne droite, parallèlement à l’écliptique, et étaient plus brillantes que le reste des étoiles. Voici quelle était leur position les une par rapport aux autres et par rapport à Jupiter.

Croquis (a) :

À l’est, se trouvaient deux étoiles, mais une seule à l'ouest [...]. Je ne me préoccupais pas d'abord de leurs distances entre elles et Jupiter car, comme je l'ai dit, je les avais prises pour des étoiles fixes. Mais quand, le 8 janvier, guidé par je ne sais quel destin, je regardais du même côté du ciel, je trouvais une disposition très différente. Les trois petites étoiles étaient en effet toutes à l'ouest de Jupiter et elles étaient plus proches entre elles que la nuit précédente [...], comme le montre le dessin ci dessous:

Croquis (b) :

[...] Je commençais à me demander avec embarras comment Jupiter pouvait se trouver à l'est de toutes les étoiles fixes mentionnées plus haut alors que la veille il était l'ouest de deux d'entre elles. »

Les jours suivants, Galilée continue à observer cette région du ciel et réalise une série de croquis à l'échelle. Il comprend que les « étoiles » sont en réalité de petits astres tournant autour de Jupiter comme la Lune tourne autour de la Terre. Le 13 janvier, pour la première fois, Il aperçoit quatre petites « étoiles ».

Croquis (c) :

Par rapport à Jupiter, les orbites des satellites sont pratiquement circulaires et appartiennent quasiment au même plan (P) qui est celui de l'équateur de Jupiter. Les orbites sont représentées sur la figure 1 ci-dessous. Les positions des satellites sont indiquées à une date donnée. Le schéma a été réalisé sans souci d'échelle.

3.1. Étude de la trajectoire des satellites de Jupiter observés par Galilée

On admet que Galilée, regardant dans sa lunette depuis un point de la Terre, appartient au plan (P) défini précédemment.

3.1.1. La figure 1 correspond-elle aux croquis (a), (b) ou (c) ci -dessus ? Justifier

3.1.2. Donner une raison possible permettant d'expliquer pourquoi les quatre satellites ne sont pas toujours vus en même temps par Galilée.

3.1 3 Quelle est la trajectoire des satellites de Jupiter vue par Galilée ?

3.2. Étude de la période de révolution du satellite Callisto autour de Jupiter

La figure 2 ci-dessous donne les croquis réalisés à l'échelle par Galilée entre le 8 février 1610 et le 2 mars 1610.

3.2.1. A certaines dates, le satellite Callisto appareil le plus éloigné de Jupiter pour Galilée. À l'aide de la figure 1, justifier celle observation.

3.2.2 On cherche à déterminer la valeur approchée de la période de révolution de Callisto autour de Jupiter. Le 11 février, Callisto apparaît pour Galilée comme étant le plus éloigné à I'Est ("Ori") ») de Jupiter.

a. À quelle date, Galilée voit-il Callisto à nouveau le plus éloigne à l'Est de Jupiter ?

b. En déduire la valeur approchée de la période. Un résultat en nombre de jours entier est attendu. Est-ce compatible avec le résultat obtenu ou 2.7.2 ?

Figure 1. Galilée observe Jupiter et ses satellites

Figure 2. Croquis réalisés à l’échelle par Galilée

GRAVITATION

I – LES RESULTATS

2. Texte d’Isaac Newton

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

n’_R = 0,69 mol

2.7.

2.7.1.

2.7.2.

3. Texte de Galilée

3.1.1.

croquis (a)

3.1.2.

Lorsqu’un satellite passe derrière la planète Jupiter.

3.1.3.

Trajectoires rectilignes (= droites)

3.2.1.

Callisto a l’orbite la plus éloignée de Jupiter.

3.2.2.

a.

27 février 1610

b.

T_C = 27 – 11 = 16 j.

II – LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

2. Texte d’Isaac Newton

2.1. Jupiter Callisto

2.2.

« tendent au centre de Jupiter » signifie que les forces de gravitation exercées par Jupiter sur ses satellites sont dirigées vers le centre de gravité de Jupiter.

« sont en raison réciproque des carrés de leurs distances à ce centre » signifie que ces forces sont inversement proportionnelles à la distance élevée au carré entre le centre de Jupiter et le centre du satellite .

2.3.

L’expression vectorielle de la force de gravitation est :

2.4.

Le système est Callisto, le référentiel est jovicentrique, supposé galiléen et la seule force exercée sur Callisto est la force de gravitation exercée par Jupiter.

D’après la seconde loi de Newton,

Donc

2.5.

Le mouvement de Callisto étant uniforme et circulaire, la valeur de son accélération est :

2.6.

En égalant les deux valeurs de l’accélération,

et en simplifiant,

2.7.

2.7.1.

La vitesse obtenue précédemment est la vitesse de révolution de Callisto sur son orbite ; elle a donc pour expression :

D’où et en remplaçant v_C par son expression

puis en élevant au carré,

d’où

2.7.2.

3. Texte de Galilée

3.1.1.

La figure 1 correspond au croquis (a) puisque l’on y voit que trois des quatre satellites de Jupiter, deux étant à gauche de Jupiter.

3.1.2.

Lorsqu’un satellite passe derrière la planète Jupiter, Galilée ne peut le voir dans sa lunette.

3.1.3.

Les trajectoires des satellites, vus par Galilée, sont des droites.

3.2.1.

Callisto est le satellite qui a l’orbite la plus éloignée de Jupiter, il est donc normal qu’il semble le plus éloigné de Galilée à certaines dates.

3.2.2.

a.

Le 27 février 1610, Galilée voit Callisto à nouveau le plus éloigné à l’Est de Jupiter.

b.

La période de révolution est donc : T_C = 27 – 11 = 16 j.

Or, au 2.7.2., on avait trouvé 16j16h. Le résultat est donc compatible.

III – CONNAISSANCES ET SAVOIR-FAIRE

2. Texte d’Isaac Newton

• Énoncer la loi de gravitation universelle sous sa forme vectorielle pour des corps dont la répartition des masses est à symétrie sphérique et leur distance grande devant leur taille.

• Appliquer la deuxième loi de Newton à un satellite ou à une planète.

• Définir la période de révolution.

• Exploiter les relations liant la vitesse, la période de révolution et le rayon de la trajectoire.

3. Texte de Galilée

• Exploiter des informations concernant le mouvement de satellites ou de planètes.

IV – LES DELIMITATIONS DE L’EXERCICE

Un exercice très classique pour sa première partie puisque beaucoup de questions sont des questions de cours ou d’application du cours. Encore faut-il s’en souvenir et retrouver les formules à partir de ce cours. L’autre difficulté étant l’application numérique de la période avec la conversion des km en m.

Pour la deuxième partie, il faut savoir lire et exploiter un document, abordable pour un élève de terminale, normalement…