Annales gratuites Bac S : Qu'en dit la NASA ?

Frottements avec l'air : qu'en dit la NASA ?
(5,5 points)

La question 6 est indépendante des précédentes.

Intrigué par la notion de frottement fluide introduite en classe, un élève recherche des informations sur la notion de force de traînée. Sur le site de la NASA, "National Aeronautics and Space Administration", dont l'activité se partage entre domaine spatial et aéronautisme, l'élève trouve :
"La force de traînée sur un avion ou une navette dépend de la densité de l'air, du carré de la vitesse, de la viscosité et de la compressibilité de l'air, de la taille et de la forme de l'objet ainsi que de son inclinaison par rapport à l'écoulement d'air. En général, la dépendance à l'égard de la forme du corps, de l'inclinaison, de la viscosité et de la compressibilité de l'air est très complexe." (d'après www.nasa.gov)
A l'issue de cette recherche, l'élève dégage deux modèles pour rendre compte des frottements exercés par l'air sur les objets.

● modèle 1 : les frottements dépendent, entre autres, de la viscosité de l'air η_air et de la valeur v de la vitesse du centre de gravité G du système. On exprime alors la force sous la forme :

● modèle 2 : les frottements dépendent, entre autres, de la masse volumique de l'air ρ_air et du carré de v. On écrit alors la force sous la forme :

Les constantes A et B sont liées à la forme du corps et à son inclinaison.

Le choix entre ces deux modèles est lié à l'expérience. Son professeur lui conseille de les appliquer à la chute verticale d'une grappe de ballons de baudruche dont il peut lui fournir le film. Il lui donne également les valeurs approchées des constantes A et B

Un logiciel adapté permet d'obtenir la courbe d'évolution temporelle de la valeur v de la vitesse du centre d'inertie G du système de la figure 2 de l'annexe.

Le système fourni par l'ensemble des ballons de baudruche, de masse m et de volume total V, est lâché sans vitesse initiale, dans le champ de pesanteur uniforme et vertical.

Toute l'étude de cet exercice est faite dans le référentiel terrestre supposé galiléen, muni d'un repère (O ; ) dont l'axe Oz vertical est orienté vers le bas. On pose v_z = v_, valeur de la vitesse du centre d'inertie G du système.

Données pour l'objet étudié :
Valeurs approchées de A et B calculées à partir de la géométrie de l'objet :
A ≈ 1 × 10¹ m
B ≈ 2 × 10^-2 m²
masse du système : m = 22 g
valeur du champ de pesanteur : g = 9,8 m.s^-2
masse volumique de l'air : ρ_air = 1,2kg.m^-3 = 1,2 g.L^-1
viscosité dynamique de l'air : η_air = 2 × 10^-5 kg.m^-1.s^-1

1. Rappeler ce que signifie le caractère uniforme du champ de pesanteur.

2. Le système est soumis à trois forces, son poids, les frottements et la poussée d'Archimède.
Donner les caractéristiques de la poussée d'Archimède.

3. Si l'on choisit le modèle 1, montrer que dans le référentiel terrestre (supposé galiléen), la vitesse v vérifie l'équation différentielle :

De la même façon, montrer que pour le modèle 2 on obtient l'équation suivante :

4. Accélération initiale

4.1. Déduire des équations différentielles l'expression littérale de a₀, valeur de l'accélération à la date t = 0, en fonction de m, V, g et ρ_air. (On pourra prendre indifféremment l'une de l'autre des deux équations différentielles pour trouver l'expression littérale de a₀).
4.2. Vérifier par une méthode graphique, sur la figure 2 de l'annexe, que la valeur de l'accélération initiale a₀ est de l'ordre de a₀ = 6 m.s^-2.
4.3. Retrouver cette valeur par un calcul sachant que le volume V du système est de l'ordre de 7 L.

5. Vitesse limite

5.1. Déterminer graphiquement sur la figure de l'annexe, la valeur de la vitesse limite v_lim. La construction graphique devra apparaître sur la figure.
5.2. À l'aide de l'équation différentielle, démontrer dans le cas du modèle 1 que l'expression de cette vitesse limite est :

On admet également dans le cas du modèle 2 que :

5.3. Calculer la valeur approchée de v_lim,1 en utilisant les données fournies en début d'énoncé. On rappelle que le volume V du système est de l'ordre de 7 L.
5.4. Sachant que v_lim,2 = 2 m.s^-1, comparer ces deux vitesses limites avec la valeur v_lim trouvée expérimentalement. En déduire lequel des deux modèles est le plus adapté à l'étude réalisée.

6. Force de frottement et énergie : retour de la navette spatiale

Le travail de la force de frottement est dissipé sous forme de chaleur ; le bouclier thermique des navettes spatiales est destiné à les protéger lors de leur entrée dans l'atmosphère.

Pour l'expliquer sur un forum, l'élève a rédigé le texte suivant :
«La navette pèse 70 tonnes ; elle quitte une orbite basse (250 km) autour de la Terre et se déplace à environ 28 000 km/h par rapport à la Terre lorsqu'elle amorce sa descente. Le plus problématique avant l'atterrissage n'est pas de descendre de 250 km, mais de ralentir afin que la vitesse soit d'environ 400 km/h. Pour cela il faut dissiper environ 2 térajoules en 2 000 secondes, soit 1 mégawatt moyen ! Actuellement, cette énergie est dissipée sous forme de chaleur lors du frottement de la navette avec l'air de l'atmosphère ; l'énergie cinétique diminue, la navette ralentit et se réchauffe».

6.1. Citer les noms de formes d'énergie que possède la navette en orbite autour de la Terre.
6.2. Dans la phrase : «... il faut dissiper 2 térajoules en 2 000 secondes, soit 1 mégawatt moyen», donner le nom de deux grandeurs physiques dont les valeurs numériques sont soulignées.
6.3. En ne prenant en compte que la variation de la vitesse comme le suggère l'élève, calculer la valeur de deux grandeurs citées dans la question précédente, à partir des données fournies dans le texte.
Vos résultats sont-ils en accord avec ceux de l'élève ?

Rappels : 1 térajoule = 1 TJ = 10¹² J                       1 mégawatt = 1 MW = 10⁵ W

I - LES RESULTATS

1. est le même partout.

2. est vertical vers le haut et de valeur

3. Il suffit de projeter la deuxième loi de Newton sur Oz

4.1.

4.2. a₀ est la pente de la tangente à l'origine.

4.3.

5.1.
5.2. On applique dans (1) et on remplace v par
5.3.
Le deuxième modèle est mieux adapté.

6.1. Energie cinétique et potentielle de pesanteur.

6.2. Energie et puissance

6.3. L'énergie à dissiper est

C'est en accord avec l'élève.

P=1GW
Ce n'est pas en accord avec l'élève.

II - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

1. On dit que le champ de pesanteur est uniforme si est identique en tout point de l'espace (mêmes direction, sens et valeur).

2. Caractéristiques de :
          a. direction : la verticale du lieu
          b. sens : dirigé vers le haut
          c. valeur : poids du volume de fluide déplacé
                    

Attention à ne pas confondre v et V

3. On applique la deuxième loi de Newton

On projette sur l'axe Oz
Attention l'axe est orienté vers le bas
     car v_z = v (énoncé)
donc

(1)

De même en remplaçant

On projette sur l'axe Oz

donc

(2)

4.1. à t = 0 s on a v = 0 m.s^-1
donc (1) ou (2) devient

d'où

soit

4.2. a₀ est la pente de la tangente à l'origine (notée  )
Graphiquement,
4.3.

Attention aux unités (ici g et L)
On ne garde qu'un chiffre significatif (car V vaut environ 7 L)

5.1. On utilise l'asymptote de v(t)
Graphiquement,
5.2. Lorsque t devient grand, la vitesse n'évolue plus, c'est-à-dire que

5.3. Il est préférable ici de revenir au système légal d'unités.
On ne gardera qu'un chiffre significatif au résultat.

5.4. De toute évidence, le deuxième modèle est mieux adapté ; en effet, 2 est plus proche de 2,7 que ne l'est 700.

6.1. La navette en orbite possède de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle de pesanteur.
6.2. 2 térajoules correspond à une énergie
1 mégawatt correspond à une puissance
6.3. On applique le théorème de l'énergie mécanique à la navette en ne tenant compte que de la variation de vitesse qui passe de 28 000 km/h à 400 km/h.

ce qui correspond bien à une dissipation de 2 térajoules.
Pour la puissance

Ce qui n'est pas en accord avec les 1MW annoncés par l'élève.

III - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

Compétences expérimentales
● Analyser les résultats expérimentaux et les confronter aux prévisions d'un modèle

Connaissances et savoir-faire exigibles
● Définir un champ de pesanteur uniforme
● Connaître les caractéristiques de la poussée d'Archimède
● Appliquer la deuxième loi de Newton à un corps en chute verticale dans un fluide et établir l'équation différentielle du mouvement, la force de frottement étant donnée.
● Savoir exploiter des courbes vG = f(t) pour :
             reconnaître le régime initial et/ou le régime asymptotique.
             évaluer le temps caractéristique correspondant au passage d'un régime à l'autre.
             déterminer la vitesse limite.

IV - LES DELIMITATIONS DE L'EXERCICE

Exercice sur la chute verticale avec frottement fluide où l'on met en parallèle la chute d'une "grappe" de ballons de baudruche avec le retour d'une navette spatiale ! Cette partie de programme n'était pas "tombée" depuis 2004.
On aurait pu retrouver un exercice sur la méthode d'Euler mais non, l'exercice est bien plus intéressant : il fait appel à de nombreuses compétences exigibles transversales mais, malgré cela, les compétences testées sont clairement identifiables et la tournure adoptée permet d'aller à l'essentiel.
Cet exercice, sur 5,5 points, est aussi d'un bon niveau de difficulté.