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Annales gratuites Brevet Série Collège : Piscine du jardin

Le sujet  2006 - Brevet Série Collège - Mathématiques - Problème Imprimer le sujet
Avis du professeur :

Le problème porte sur : Aire-Volume-Périmètre.
Le sujet est assez délicat à traiter ; les problèmes de débit le sont toujours.

LE SUJET


12 points

La piscine de Monsieur Dujardin a la forme d'un prisme droit dont la base ABCD est un trapèze rectangle.

On donne: AB = 14 m, AE = 5m
                AD = 1,80 m, BC = 0,80 m.
Sur le schéma ci-dessus, les dimensions ne sont pas respectées.
On rappelle les formules suivantes :

Aire d'un trapèze =  ;

Volume d'un prisme = (Aire de la base) × hauteur.

 

Partie A

1. Montrer que le volume de cette piscine est 91 m3.

2. A la fin de l'été, M. Dujardin vide sa piscine à l'aide d'une pompe dont le débit est 5m3 par heure.
a. Calculer le nombre de m3 d'eau restant dans la piscine au bout de 5 heures.
b. On admet que le nombre de m3 d'eau restant dans la piscine au bout de x heures est donné par la fonction affine f définie par : f(x) = 91 - 5x.
Sur la feuille de papier millimétré, construire un repère orthogonal tel que :
●  en abscisse, 1 cm représente 1 heure,
●  en ordonnée, 1 cm représente 5m3 .
Représenter graphiquement la fonction f dans ce repère.
c. Par lecture graphique, déterminer le nombre d'heures nécessaires pour qu'il ne reste que 56m3 d'eau dans cette piscine.
d. Par lecture graphique, déterminer le nombre d'heures nécessaires pour vider complètement la piscine.
e. Retrouver ce dernier résultat par le calcul. Donner cette durée en heures et minutes.

 

Partie B

M. Dujardin doit clôturer sa piscine, en laissant autour une distance de 1,25m comme le montre le schéma ci-dessous.

1. Calculer les distances IJ et JK en cm.

2. Pour réaliser la clôture, il souhaite utiliser un nombre entier de panneaux rectangulaires identiques, dont la longueur a est un nombre entier de centimètres, le plus grand possible. Expliquer pourquoi a est le PGCD de 750 et de 1650.

3. Calculer la valeur de a, en indiquant la méthode utilisée.

4. Combien faudra-t-il de panneaux pour clôturer la piscine ?

LE CORRIGÉ


I - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Volume d'un prisme
● Fonction affine
● PGCD

 

II - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

Savoir représenter une fonction affine et effectuer une lecture graphique.

 

III - LES DIFFICULTES RENCONTREES

Le choix des axes sur la feuille de papier millimétré est très important afin de pouvoir effectuer une des lectures graphiques demandées. Il faut savoir utiliser le PGCD de deux nombres dans un cas pratique.

 

IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

Partie A

1.

Aire de la base =

Aire de la base =

Aire de la base = 18,2 m2

Volume de la piscine = Aire de le base × AE

Volume de la piscine = 18,2 × 5

Volume de la piscine = 91 m3

2.
a.
Le nombre de m3 d'eau restant dans la piscine au bout de 5 heures est de 91—5×5 soit 66m3.

b.

f(x)= 91—5x

Voir le graphique ci-dessous

c.
Par lecture graphique un nombre d'heures nécessaires pour qu'il ne reste plus que 56m3 d'eau dans cette piscine est de 7 heures.

d.
Par lecture graphique le nombre d'heures nécessaires pour vider complètement la piscine est de 18 heures approximativement.

e.
I
l faut poser f(x) = 0

on a donc 91—5x = 0

—5x = —91

x = 18,2

Soit une durée de 18 heures et 12 minutes.

Partie B

1.
IJ = EA + 2 × 1,25

IJ = 5 + 2,5

IJ = 7,5 m

Soit IJ = 750 cm

JK = AB + 2 × 1,25

JK = 14 + 2,5

JK = 16,5 cm

Soit JK = 1650 cm

2.
Comme a est un nombre entier, il doit donc diviser 750 et 1650.
De plus, comme a doit être le plus grand possible alors a est le plus grand commun diviseur de 750 et 1650.
Voilà pourquoi a est le PGCD de 750 et de 1650.

3.
En utilisant la méthode d'Euclide :

a = 150 cm

4.
Comme la longueur du panneau est de 150 cm, il faut donc :

 soit 11 panneaux sur la longueur et  soit 5 panneaux sur la largeur.

Il faudra donc un total de 2 (11 + 5) soit 32 panneaux.

 

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