Suivez-nous
 >   >   >   > Trapèze rectangle

Annales gratuites Brevet Série Collège : Trapèze rectangle

Le sujet  1999 - Brevet Série Collège - Mathématiques - Problème Imprimer le sujet
LE SUJET

L'unité de longueur est le centimètre.
La figure représente un trapèze rectangle ABCD.

On donne : AB = 3, AD = 4 et CD = 5.
Les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Les droites (AC) et (BD) se coupent en O.


PARTIE A

1) Reproduire la figure en vraie grandeur.
On pourra commencer la construction au centre d'une feuille de papier millimétré

et la compléter au fur et à mesure du problème.

2) Démontrer que le triangle BCD est isocèle.

3) Montrer que l'aire en centimètres carrés du trapèze ABCD est égale à 16.
On rappelle que l'aire d'un trapèze de bases B et b, de hauteur correspondante h est égale à ´ ( B + b ) ´ h.

4) Montrer que .

5) Les droites (AD) et (BC) se coupent en S. Placer le point S.
Démontrer que les angles et ont même mesure.


PARTIE B

1) a) En posant SA = x, démontrer que

b) En déduire la distance SA.

2) Déterminer la valeur arrondie à un degré près de la mesure de l'angle .


3) Construire le point B', symétrique du point B par rapport à la droite (AD).
Construire le point S', image du point B' par la translation de vecteur .

4) Tracer le segment [S'D].
On considère maintenant la figure comme une partie d'un patron de la pyramide de base ABCD,

de sommet S et de hauteur [SA].
Terminer le patron de cette pyramide, en prenant soin de coder sur la figure les segments de même longueur.

5) Calculer le volume de cette pyramide.

LE CORRIGÉ

PARTIE A

1)


2) Le triangle ABD est rectangle, donc :
BD 2 = AB 2 + AD 2 = 9 + 16 = 25

et BD = 5 et donc : BD = DC :
Le triangle BCD est isocèle.

3) hauteur du trapèze : h = 4
petite base : b = 3
grande base : B = 5
l'aire du trapèze vaut

4) D'après la propriété de Thalès, les droites (AB) et (CD) étant parallèles :

5) Les angles et sont correspondants et les droites (AB) et (DC) sont parallèles.
Donc et ont même mesure.
Le triangle BDC est isocèle
(DB = DC = 5) donc et ont même mesure.
Donc et ont même mesure.


PARTIE B

1) a) D'après la propriété de Thalès, on a :
, donc :

b) On a donc : 5x = 3(x + 4)
Ou encore : 2x = 12
c'est-à-dire : x = 6

2)
donc

3) Voir figure PARTIE A question 1)

4) Voir figure PARTIE A question 1)

5) On a

ici h = SA = 6 (partie A, 3°) et S = 16
Donc V = 32 cm 3.

2016 Copyright France-examen - Reproduction sur support électronique interdite