Fonction Logarithme Série S

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct . Toutes les courbes demandées seront représentées sur un même graphique (unité graphique : 2 cm).

On définit la fonction f sur par

1. Calculer les limites de f en 0 et en .

2. Etudier le sens de variation de f sur .

3. Soit C la courbe représentative de f dans et A le point de C d'abscisse 3
Calculer l'ordonnée de A. Soit B le point de C d'abscisse , P le projeté orthogonal de B sur l'axe et H le projeté orthogonal de B sur l'axe .

Déterminer les valeurs exactes des coordonnées des points B, P et H. Placer les points A, B, P et H dans le repère et représenter la courbe C.

Soit r la rotation de centre O et d'angle . A tout point M du plan d'affixe z, la rotation r associe le point M' d'affixe z'.

1.a. Donner z' en fonction de z.

On note z = x + iy et z' = x' + iy' (x,y,x',y' réels), exprimer x' et y' en fonction de x et y, puis exprimer x et y en fonction de x' et y'.

b. Déterminer les coordonnées des points A', B' et P' images respectives des points A, B et P par la rotation r.

2. On appelle g la fonction définie sur par et sa courbe représentative dans le repère .

a. Montrer que lorsqu'un point M appartient à C, son image M' par r appartient à .
On admet que lorsque le point M décrit C, le point M' décrit .

b. Tracer sur le graphique précédent les points A', B', P' et la courbe (l'étude des variations de g n'est pas demandée).

On rappelle que l'image d'un domaine plan par une rotation est un domaine plan de même aire.

1. Calculer l'intégrale . Interpréter graphiquement cette intégrale.

2.a. Déterminer, en unités d'aire, l'aire A du domaine plan D limité par les segments , et et l'arc de courbe C d'extrémités B et A.

b. On pose
Trouver une relation entre A et puis en déduire la valeur exacte de l'intégrale .

I - QUEL INTERET POUR LE SUJET

Etude d'une fonction déduite par une rotation de centre O et d'angle .

est définie sur ] 0, [ par .

1)

D'où .

D'où .

2) Sens de variation de

Posons

D'où

Pour tout réel >0
>0 et >0
Donc >0 pour tout réel x de l'intervalle ] 0, +[.

Par conséquent, la fonction est strictement croissante sur l'intervalle ] 0, +[.
Il en résulte le tableau de variation suivant :

3) Le point A d'abscisse 3 a pour ordonnée
Les coordonnées du point B sont soit .
Les coordonnées de P sont et celles de H

Tableau des valeurs

1) a)

On a donc .
                     .
     D'où

    b) Les points A, B, P ont pour coordonnées respectives (3, 0) ; .
Les points A', B', P' images respectives de A, B, P par la rotation ont donc pour coordonnées (0, 3), .

2) On a
    a) M C

Donc

et      

On a
                
                     
                           
Et donc M'

    b) Voir courbe.

1)
                      =
                      =
                      =
                      =
                      =
                      =

2)
    a) Le domaine plan décrit a la même aire que le domaine plan délimité par l'axe , la droite et la courbe RHO.
Son aire est donc

    b)
On a
Et donc

Un problème très général qui couvre l'essentiel du programme.
L'esprit du sujet a dû surprendre beaucoup de candidats.

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