Population régionale - Série ES

(5 points)

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité.

Dans une région de France supposée démographiquement stable, on compte 190 milliers d'habitants qui se déplacent en voiture pour aller travailler : les uns se déplacent seuls dans leur voiture, les autres pratiquent le co-voiturage. On admet que :

• si une année un habitant pratique le co-voiturage, l'année suivante il se déplace seul dans sa voiture avec une probabilité égale à 0,6 ;
• si une année un habitant se déplace seul dans sa voiture, l'année suivante il pratique le co-voiturage avec une probabilité égale à 0,35.

Première partie :

On note C'l'état "pratiquer le co-voiturage" et V l'état "se déplacer seul dans sa voiture".
1. Dessiner un graphe probabiliste de sommets C'et V qui modélise la situation aléatoire décrite.
2. En considérant C'et V dans cet ordre, en ligne, la matrice de transition associée à ce graphe est .

Vérifier que l'état stable du système correspond à la matrice ligne (70 120). En donner une interprétation.

Deuxième partie :

En 2000, 60 milliers d'habitants pratiquaient le co-voiturage et 130 milliers d'habitants se déplaçaient seuls dans leur voiture.
On appelle Xn (n entier naturel) le nombre de milliers d'habitants qui pratiquent le co-voiturage durant l'année 2000 + n. On a donc X0 = 60.
On admet que pour tout entier naturel n, Xn+l = 0,05Xn + 66,5.
On considère la suite  définie pour tout entier naturel n'par Un = Xn 70.

1. Prouver que la suite est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
2. Montrer que pour tout entier naturel n, Xn = 70 10 x 0,05n.
Est-il possible que, durant une année, le nombre d'habitants pratiquant le co-voiturage atteigne la moitié de la population de cette région ?

I - L'ANALYSE DU SUJET

L'utilisation des graphes probabilistes et des suites numériques dans la gestion des déplacements par co-voiturage de la population d'une région...

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME

• Graphe probabiliste
• Suite géométrique

III - LES DIFFICULTES DU SUJET

La difficulté du sujet est essentiellement à la question 2. de la première partie qui fait appel à l'utilisation de matrices.

IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

• Dessiner un graphe probabiliste
• Utiliser la matrice de transition
• Suite géométrique

V - LES RESULTATS

Première partie
1.


2. Etat stable correspondant à la matrice (70, 120).

Ce qui signifie qu'à terme, 70 milliers d'habitants de cette région pratiqueront le co-voiturage, alors que 120 milliers se déplaceront seul en voiture.

Deuxième partie

1. Un + 1 = 0,05 Un

Sa raison est 0,05.

Son premier terme est : U0 = 10

2. Il n'est pas possible que le nombre d'habitants pratiquant le co-voiturage atteigne la moitié de la population.

VI - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

Première partie

1.


2. Vérifions que (70 120) = (70 120) ÿ M


Par conséquent (70 120) correspond bien à l'état stable.

A terme dans cette région 70 milliers d'habitants vont pratiquer le co-voiturage et 120 milliers se déplaceront seul en voiture.

Deuxième partie

1. Un + 1 = Xn + 1 70
= 0.05 Xn + 66,5 70
= 0,05 Xn 3,5
Or Un = Xn 70 donc Xn = Un + 70
On a donc Un + 1 = 0,05 (Un + 70) 3,5
Un + 1 = 0,05 Un +3,5 3,5
Un + 1 = 0,05 Un
(Un) est donc une suite géométrique.
Sa raison est 0,05.
U0 = X0 70
U0 = 60 70
Son premier terme est : U0 = 10

2. D'après ce qui précède, on a

,Un = ( 10) ÿ 0,05n

Or Xn = Un + 70

On a Xn = 70 10 ÿ 0,05n

La question revient à résoudre :

70 10 ÿ 0,05 n'≥ 95
10 ÿ 0,05 n'≥ 25

Or ceci est impossible car 10 ÿ 0,05 n'est négatif donc il n'est pas possible que le nombre d'habitants pratiquant le co-voiturage atteigne la moitié de la population.