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Programme de mathématiques BAC S

. Analyse . Géométrie . Probabilités et statistique . Arithmétique . Géométrie

Enseignement obligatoire

Analyse

Limites de suites et de fonctions
Rappel de la définition de la limite d'une suite. Extension à la limite finie ou infinie d'une fonction en

Notion de limite finie ou infinie d'une fonction en un réel a.
Théorème " des gendarmes " pour les fonctions.
Limites de la somme, du produit, du quotient de deux suites ou de deux fonctions ; limite de la composée de deux fonctions, de la composée d'une suite et d'une fonction.

Langage de la continuité et tableau de variations
Continuité en un point a.
Continuité d'une fonction sur un intervalle.
Théorème (dit des valeurs intermédiaires) : " soient f une fonction définie et continue sur un intervalle I et a et b deux réels dans I. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k ".

Dérivation
Rappels sur les règles de dérivation et sur le lien entre signe de la dérivée et variations de la fonction.
Application à l'étude de la fonction tangente.
Dérivation d'une fonction composée

Introduction de la fonction exponentielle
ÿtude de l'équation f = kf.
Théorème : " il existe une unique fonction f dérivable sur R telle que f = f et f(0) = 1 ".
Relation fonctionnelle caractéristique.
Introduction du nombre e. Notation

.
Extension du théorème pour l'équation f = kf.

ÿtude des fonctions logarithmes et exponentielles
Fonction logarithme népérien ; notation ln.
ÿquation fonctionnelle caractéristique. Dérivée ; comportement asymptotique.
Fonctions

. Comportement asymptotique ; allure des courbes représentatives.
Croissance comparée des fonctions exponentielles, puissances entières et logarithme.
Fonction racine n-ième.

Suites et récurrence
Raisonnement par récurrence
Suite monotone, majorée, minorée, bornée
Suites adjacentes et théorème des suites adjacentes.
Théorème de convergence des suites croissantes majorées.

Intégration
Pour une fonction f continue positive sur

, introduction de la notation

comme aire sous la courbe.
Valeur moyenne d'une telle fonction.
Extension à l'intégrale et à la valeur moyenne d'une fonction de signe quelconque.
Linéarité, positivité, ordre, relation de Chasles.
Inégalité de la moyenne.

Intégration et dérivation
Notion de primitive.
Théorème : " si f est continue sur un intervalle I, et si a est un point de I, la fonction F telle que

est l'unique primitive de f sur I s'annulant en a. "
Calcul de

à l'aide d'une primitive de f.
Intégration par parties.

ÿquations différentielles y =ay+b

Géométrie

Géométrie plane : nombres complexes
Le plan complexe : affixe d'un point ; parties réelle et imaginaire d'un nombre complexe. Conjugué d'un nombre complexe. Somme, produit, quotient de nombres complexes.
Module et argument d'un nombre complexe ; module et argument d'un produit, d'un quotient.
ÿcriture

.
Résolution dans C'des équations du second degré à coefficients réels.
Interprétation géométrique de

avec

avec k réel non nul, ou

Produit scalaire dans l'espace
Rappels sur le produit scalaire dans le plan. Définition du produit scalaire de deux vecteurs dans l'espace. Propriétés, expression en repère orthonormal.

Droites et plans dans l'espace
Caractérisation barycentrique d'une droite, d'un plan, d'un segment, d'un triangle. Représentation paramétrique d'une droite de l'espace.
Intersection de deux plans, d'une droite et d'un plan, de trois plans. Discussion géométrique, discussion algébrique.

Probabilités et statistique

Conditionnement et indépendance
Conditionnement par un événement de probabilité non nulle puis indépendance de deux événements.
Indépendance de deux variables aléatoires.
Formule des probabilités totales.
Statistique et modélisation
Expériences indépendantes. Cas de la répétition d'expériences identiques et indépendantes.

Lois de probabilité

Exemple de lois discrètes.
Introduction des combinaisons notées

Formule du binôme
Loi de Bernoulli, loi binomiale ; espérance et variance de ces lois.

Exemples de lois continues
Lois continues à densité :
Loi uniforme sur [0,1] ;
Loi de durée de vie sans vieillissement. Statistique et simulation

Enseignement de spécialité

Arithmétique

Divisibilité dans Z.
Division euclidienne. Algorithme d'Euclide pour le calcul du PGCD.
Congruences dans Z.
Entiers premiers entre eux.
Nombres premiers. Existence et unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers. PPCM.
Théorème de Bezout.
Théorème de Gauss.