Le sujet 2003 - Bac ST2S - Mathématiques - Problème |
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Partie A
Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 22] par .
1. Calculer f'(x) et vérifier que .
2. a) Résoudre l'équation f'(x) = 0.
b) Etudier le signe de f'(x).
c) Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 22].
3. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir les résultats à la centaine prés) :
x |
0 |
4 |
8 |
12 |
16 |
20 |
22 |
f(x) |
|
|
4 700 |
9 600 |
17 500 |
|
|
4. Tracer la courbe représentative de la fonction f ; on prendra pour unités graphiques :
Partie B
Les bactéries se multiplient dans le lait et finissent par le transformer en lait caillé. On admet que pendant 22 heures le nombre de germes par millilitre (mL), pour un temps x en heures, est donné par .
1. En utilisant la partie A, peut-on dire qu'au bout de 4 heures, la quantité de germes par mL a plus que doublé ? Justifier la réponse.
2. Par lecture graphique, en faisant apparaître les tracés utiles, déterminer au bout de combien de temps le nombre de germes par mL est égale à 12 000.
3. On sait que le lait se met à cailler 5 heures après que la quantité maximale de germes par mL ait été atteinte. Déterminer, dans ce cas précis, à quel moment le lait se met à cailler.
I - QUEL INTERET POUR CE SUJET ?
Etude de la multiplication des bactéries ans le lait à l'aide d'une fonction exponentielle.
II - LE DEVELOPPEMENT
Partie A
f est définie sur [0 ; 22] par
1)
2)
a) f'(x) = 0 <=> 200 - 10x = 0 <=> x = 20
b) f'(x) est du signe de 200 - 10x car e0,25x> 0 pour tout réel x.
On a donc f'(x) ³
0 pour 0 £
x £
20 et f'(x) £
0 pour 20 £
x £
22
c) Il en résulte le tableau de variation suivant :
3)
x |
0 |
4 |
8 |
12 |
16 |
20 |
22 |
f(x) |
960 |
2 200 |
4 700 |
9 600 |
17 500 |
23 700 |
19 600 |
4)
Partie B
1) Oui, on peut dire qu'au bout de quatre heures, la quantité de germes par mL a plus que doublé car à l'instant x = 0, f(0) = 960 et 4 heures après soit x = 4, f(4) = 2 200.
On a bien f(4) > 2f(0).
2) Il faut lire sur le graphique l'abscisse du point de la courbe qui a pour ordonnée 12 000 soit x = 13,5 soit 13h30.
3) Le lait se met à cailler 25 heures après.
III - LE COMMENTAIRE MATHEMATIQUE
Un exercice sans difficulté apparente.
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