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Annales gratuites Bac S : Bactéries

Le sujet  2003 - Bac S - Mathématiques - Problème Imprimer le sujet
LE SUJET

Soit N0 le nombre de bactéries introduites dans un milieu de culture à l'instant t = 0 (N0 étant un réel strictement positif, exprimé en millions d'individus).
Ce problème a pour objet l'étude des deux modèles d'évolution de cette population de bactéries :

  • un premier modèle pour les instants qui suivent l'ensemencement (partie A)
  • un second modèle pouvant s'appliquer sur une longue période (partie B).
  • Partie A

    Dans les instants qui suivent l'ensemencement du milieu de culture, on considère que la vitesse d'accroissement des bactéries est proportionnelle au nombre de bactéries en présence.
    Dans ce premier modèle, on note f(t) le nombre de bactéries à l'instant t (exprimé en millions d'individus). La fonction f est donc solution de l'équation différentielle : y' = ay.
    (où a est un réel strictement positif dépendant des conditions expérimentales).

    1. Résoudre cette équation différentielle, sachant que f(0) = N0.
    2. On note T le temps de doublement de la population bactérienne.
    Démontrer que, pour tout réel t positif :

    Partie B

    Le milieu étant limité (en volume, en éléments nutritifs...), le nombre de bactéries ne peut pas croître indéfiniment de façon exponentielle. Le modèle précédent ne peut donc s'appliquer sur une longue période. Pour tenir compte de ces observations, on représente l'évolution de la population de bactéries de la façon suivante:
    Soit g(t) est le nombre de bactéries à l'instant t (exprimé en millions d'individus) ; la fonction g est une fonction strictement positive et dérivable sur qui vérifie pour tout t de la relation :
    ,
    où M est une constante strictement positive dépendant des conditions expérimentales et a le réel défini dans la partie A.

    1. a. Démontrer que si g est une fonction strictement positive vérifiant la relation (E), alors la fonction est solution de l'équation différentielle (E') : .
     b. Résoudre (E').
     c. Démontrer que si h est une solution strictement positive de (E'), alors vérifie (E).

    2. On suppose désormais que, pour tout réel positif t , , où C est une constante strictement supérieure à 1 dépendant des conditions expérimentales.
     a. Déterminer la limite de g en +¥ et démontrer, pour tout réel t positif ou nul, la double inégalité :
    0 < g(t) < M.
     b. Etudier le sens de variation de g (on pourra utiliser la relation (E)).
    Démontrer qu'il existe un réel unique t0 positif tel que g(t0) = .
     c. Démontrer que . Etudier le signe de g''. En déduire que la vitesse d'accroissement du nombre de bactéries est décroissante à partir de l'instant t0 défini ci-dessus.
    Exprimer t0 en fonction de a et C.
     d. Sachant que le nombre de bactéries à l'instant t est g(t), calculer le nombre moyen de bactéries entre les instants 0 et t0, en fonction de M et C.

    Partie C

    1. Le tableau présenté en annexe I a permis d'établir que la courbe représentative de f passait par les points de coordonnées respectives (0 ; 1) et (0,5 ; 2). En déduire les valeurs de N0, T et a.

    2. Sachant que g(0) = N0 et que M = 100 N0, démontrer, pour tout réel t positif ou nul, l'égalité suivante :
    .

    3. Tracer, sur la feuille donnée en Annexe II, la courbe G représentative de g, l'asymptote à G ainsi que le point de G d'abscisse t0.

    4. Dans quelles conditions le premier modèle vous semble-t-il adapté aux observations faites ?

    Annexe I

    t (en h)

       0

      0,5

      1

      1,5

      2

      3

      4

      5

      6

    Nombre de bactéries
    (en millions)

      1,0

      2,0

      3,9

      7,9

     14,5

     37,9

     70,4

     90,1

      98

    Les points obtenus à partir de ce tableau, ainsi que la fonction f, sont représentés dans le repère ci-dessous.

    Annexe II

    LE CORRIGÉ

    I - QUEL INTERET POUR CE SUJET ?

    Un problème de modélisation pour étudier l'évolution d'une population de bactéries en utilisant les équations différentielles.

    II - LE DEVELOPPEMENT

    Partie A

    1. La solution générale de l'équation différentielle est
    On a donc

    D'où la solution de l'équation différentielle qui vérifie la condition initiale est :

    2. Montrons que pour tout réel positif t, on a :
    On a : et
    comme alors

    Donc

    D'où .

    Partie B :

    1. a.

    On a les équations :
    et

    Pour montrer que la fonction est la solution de l'équation différentielle (E'), il suffit de montrer que :

    ou encore :
    comme g est une fonction strictement positive, en multipliant (E) par - (1/g²), on obtiendra :
    pour tout

    d'où solution de (E').
    b.

    La solution générale de (E') est la somme de la solution de l'équation homogène associée
    y' + ay = 0 et de la solution particulière
    On a donc : .

    On remarque aussi que la fonction constante égale à pour tout est une solution particulière évidente de l'équation (E'). Donc on a :

    .

    En posant C = k . M. On retrouve la forme de g proposée dans la question 2, soit :

    c. Si h est une solution strictement positive de (E'), alors ou
    Pour montrer que dans ce cas vérifie (E), il suffit de montrer que
    On a

    Donc vérifie bien (E).

    Où encore comme à la question 1.a en multipliant (E') par , on obtient :

    et donc solution de (E).

    2.a.

    D'où

    Pour tout réel positif t, comme C > 1
    On a donc pour tout réel positif t.
    De plus, comme M est une constante strictement positive, on a donc
    Soit g(t) > 0 pour tout réel positif ou nul t.
    De plus,
    Donc
    Et

    Soit g(t) < M

    On en déduit que pour tout réel t positif ou nul :
    O < g(t) < M

    b.

    On a

    On sait que O < g(t) < M

    Donc g'(t) est du signe de
    car ag(t) > 0.
    De plus,
    <=>

    Comme g'(t) > 0 pour tout réel t 0 alors la fonction g est strictement croissante.
    g est définie sur et g est strictement croissante sur avec
    Donc g réalise une bijection de vers .
    Comme , alors il existe un réel unique t0 appartenant à tel que .

    c.

    Comme a > 0 et g' > 0 alors g'' est du signe de


    g'' est donc du signe de
    On en déduit que pour , et que pour ,

    On a donc :

    Et

    Comme alors on en déduit que la vitesse d'accroissement du nombre de bactéries est décroissant à partir de l'instant t0.






    d. Calcul du nombre moyen de bactéries entre les instants 0 et t0

    Partie C :

    1.




    on a :
    d'où a = 2 ln 2 soit a = ln 4

    avec a = ln 4
    On a donc



    <=> 1+C = M
    <=> C = M - 1
    Pour M = 100, C = 99
    D'où

    3. Voir figure ci-dessous

    Le premier modèle semble adapté aux observations faites pour une faible période entre 0 et 2 heures.

    III - LE COMMENTAIRE MATHEMATIQUE

    Un problème surprenant qui est assez difficile pour le temps imparti.

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