Annales gratuites Bac Général L spé Maths : Billet de banque

(6 points)

On admet qu'on obtient le même reste en divisant un nombre par 9 qu'en divisant la somme
de ses chiffres par 9.

Sur les billets de banque en euros figure un code de 11 chiffres précédé d'une lettre. On remplace la lettre par son rang dans l'alphabet habituel comportant 26 lettres. On obtient ainsi un nombre à 12 ou 13 chiffres et on cherche le reste de la division de ce nombre par 9. Ce reste est le même pour tous les billets authentiques et vaut 8.

Exemple :

1. Le code uO1308937097 figure sur un billet de banque.
a. Donner le nombre à 13 chiffres correspondant à ce code.
b. Calculer le reste de la division par 9 de la somme des 13 chiffres de ce nombre.
c. Que peut-on dire de ce billet ?

2. Sur un billet authentique figure le code sO21664481Ox, x pour le dernier chiffre illisible. Montrer que x + 42 est congru à 8 modulo 9.
En déduire x.

3. Sur un autre billet authentique la partie du code formé par les 11 chiffres est 16122340242, mais la lettre qui les précède est effacée. On appelle n le rang dans l'alphabet de la lettre effacée.
a. Déterminer les valeurs possibles de n.
b. Quelles sont les possibilités pour la lettre effacée ?

I - L'ANALYSE DU SUJET

Voilà qui va nous permettre de reconnaître si un billet est vrai ou faux. Enfin, peut être...
Ou de l'arithmétique au service de la cryptographie.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME

● Division euclidienne
● Congruence

III - LES DIFFICULTES DU SUJET

La question difficile du sujet est la question 2.
La solution peut se trouver de manière intuitive mais la rédaction est assez délicate.

IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

● Congruence

V - LES RESULTATS

1.
a. 2101308937097
b. Le reste est 5.
c. Le billet est faux.

2.

x=2

3.
a. 8, 17, 25
b. H, Q, Y

VI - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

1.
a. Le rang de la lettre u dans l'alphabet est : 21.
Donc le nombre à 13 chiffres correspondant à ce code est :
2101308937097

b. 2 + 1 + 0 + 1 + 3 + 0 + 8 + 9 + 3 + 7 + 0 + 9 + 7 = 50 = 5 × 9 + 5
Donc le reste de la division par 9 de la somme des 13 chiffres de ce nombre est 5.

c. On peut donc en déduire que ce billet est faux.

2. Le code s0216644810x a pour nombre 190216644810x. La somme de ses chiffres est x + 42. Comme ce billet est authentique alors x + 42 est congru à 8 modulo 9.
On a x + 42 = x + 6 + 36
x + 42 = x + 6 + 4 × 9
Donc x + 6 est aussi congru à 8 modulo 9.
Or 6 ≤ x + 6 ≤ 15
Donc x + 6 = 8
Soit x = 2.
Le code est donc : s02166448102

3.
a. Le code formé par les 11 chiffres est :
16122340242
La somme des 11 chiffres est égale à 27. Comme le billet est authentique et que 1 ≤n≤ 26, alors 27 + n est congru à 8 modulo 9.
Les valeurs possibles pour n sont donc 8, 17 et 26.

b. Les possibilités pour la lettre effacée sont donc : H, Q et Z.