Suivez-nous
 >   >   >   > Capacité de production

Annales gratuites Bac STG Compta finance : Capacité de production

Le sujet  2002 - Bac STG Compta finance - Mathématiques - Exercice Imprimer le sujet
LE SUJET

Une entreprise, qui fabrique et commercialise un produit, a une capacité de production limitée à 3,5 tonnes par jour.
Le coût total de production exprimé en milliers d'euros, pour fabriquer x tonnes de ce produit est noté C(x).
On note R(x) la recette, exprimée en milliers d'euros, obtenue pour x tonnes de produit vendues.
On note B(x) le bénéfice, exprimé en milliers d'euros, obtenu pour x tonnes de produit vendues.
Sur le dessin ci-dessous, on a représenté graphiquement les fonctions C et R.

Partie A : Etude graphique
Répondre aux questions suivantes en utilisant le graphique.

1. Déterminer le montant en euros des coûts lorsque la production est nulle.

2. Quel est le montant en euros de la recette si l'entreprise produit et vend 0,5 tonne de produit ? Réalise-t-elle un bénéfice dans ce cas ? (Justifier la réponse).

3. Pour quelles valeurs de x, le bénéfice est-il nul ?

4. Déterminer les quantités de produit pour lesquelles l'entreprise est bénéficiaire.

5. Déterminer la quantité de produit qui assure à l'entreprise un bénéfice maximal. Quel est alors ce bénéfice ?

Partie B : Etude de la fonction B

Dans cette partie, on sait que pour x appartenant à [0 ; 3,5], C(x) = x² + 3 et R(x) = 4x.

1. Montrer que B(x) = -x² + 4x - 3.

2. Calculer B'(x), puis étudier son signe sur [0 ; 3,5].

3. Dresser le tableau de variations complet de la fonction B sur [0 ; 3,5] et vérifier le résultat de la question A5.

LE CORRIGÉ

I - QUEL INTERET POUR CE SUJET ?

Des modèles mathématiques au service de la gestion de l'entreprise.

II - LE DEVELOPPEMENT :

Partie A : Etude graphique

1) C(0) = 3 sur le graphique, donc lorsque la production est nulle, le montant des coûts s'élève à 3 000 €.

2) R(0,5) = 3 sur le graphique, donc pour 0,5 tonnes produites la recette est de 2 000 €.
Pour x = 0,5 on constate sur le graphique que R(0,5) < C(0,5) donc l'entreprise ne réalise pas de bénéfice.

3) B(x) = 0 ssi R(x) = C(x)
D'après le graphique, on obtient x = 1 et x = 3.

4) L'entreprise est bénéficiaire lorsque C(x) < R(x) c'est-à-dire par lecture graphique si 1 < x < 3.

5) Le bénéfice est maximal lorsque R(x) - C(x) est maximal, soit pour x = 2.
B est alors égal à 1 000 €.

Partie B : Etude de la fonction B

1)
C(x) = x2 + 3
R(x) = 4x
B(x) = 4x - (x2 + 3) = -x2 + 4x - 3

2) B'(x) = -2x + 4
B'(x) > 0 ssi -2x + 4 > 0
ssi -2x > -4
ssi x < 2

3) D'où le tableau de variation



On retrouve un bénéfice maximal pour x = 2 égal à 1 000 €.

III - UN COMMENTAIRE MATHEMATIQUE :

Il fallait savoir interpréter correctement les graphiques fournis.

2021 Copyright France-examen - Reproduction sur support électronique interdite