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Annales gratuites Bac Général L spé Maths : Carbone 14

Le sujet  2003 - Bac Général L spé Maths - Mathématiques - Exercice Imprimer le sujet
LE SUJET

Le but de l'exercice est l'étude de la désintégration du carbone 14, corps radioactif, et de son utilisation pour la datation des fossiles ou des squelettes.

Partie A

Soit N0 le nombre d'atomes de carbone 14 à l'instant t = 0.
Soit N1 le nombre d'atomes de carbone 14 un siècle après.
Soit Nk le nombre d'atomes de carbone 14 après k siècles, k entier naturel.

On sait que le nombre d'atomes 14 diminue très lentement au cours du temps, d'environ 1,24 % par siècle.

1. Justifier que la suite (Nk) est une suite géométrique de raison 0,9876.

2. Exprimer Nk en fonction de N0 et de l'entier k.

3. Quelle est la limite de la suite (Nk) ? Justifier.

Partie B

Les rayons cosmiques produisent continuellement dans l'atmosphère du carbone 14, qui s'y désintègre très lentement, ce qui fait que le taux de carbone 14 dans l'atmosphère de la terre est constant.

Durant leur vie, les tissus animaux et végétaux contiennent la même proportion de carbone 14 que l'atmosphère ; à leur mort, l'assimilation en carbone 14 cesse et celui-ci se désintègre dans les conditions vues dans la partie A.

1. Un squelette d'homme préhistorique contient 5 % du carbone 14 initial.
Justifier que l'on peut estimer son âge à 24 000 ans.

2. On admet que l'on peut ainsi estimer l'âge des fossiles qui contiennent au moins 1 % du carbone 14 initial.
En utilisant des propriétés de la fonction logarithme népérien, déterminer l'âge maximum que l'on peut calculer.

LE CORRIGÉ

I - QUEL INTERET POUR CE SUJET ?

Utiliser la datation au carbone 14.

II - LE DEVELOPPEMENT

Partie A

1. Le nombre d'atomes de carbone 14 du siècle k est diminué de 1,24 % par rapport au siècle k - 1,
on a donc

donc ( N) est une suite géométrique de raison q = 0,9876 et de premier terme N0.

2. donc

3. La raison de la suite est inférieure à 1 et supérieure à - 1 donc la suite converge vers 0.

Partie B

1. On a Nk = 0,05 x N0
donc ( 0,9876 )k = 0,05
donc ( 0,9876 )240 = 0,0500 à 10-4 près
donc on peut estimer l'âge du squelette à 240 siècles soit 24 000 ans.

2. On doit avoir
( 0,9876 )k > 0,01
donc ln ( 0,9876 )k > ln 0,01
k ln ( 0,9876 ) > ln 0,01

k < 369
l'âge maximum est de 36 900 ans.

III - LE COMMENTAIRE MATHEMATIQUE

Suite géométrique, logarithme, beaucoup de choses à savoir.

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