Annales gratuites Bac Général L spé Maths : Comparaison de salaires

Alice et Carole comparent leurs salaires. Elles débutent chacune avec un salaire de 1 500 euros.
Chaque mois, à partir du deuxième mois :
  - Le salaire d'Alice augmente de 8 euros.
  - Le salaire de Carole augmente de 0,2% et on y ajoute 4 euros.

Pour tout entier naturel n, on désigne par a_n le salaire mensuel en euros
que perçoit Alice à la fin du (n+1)-ième mois, et par c_n celui perçu par Carole.
Ainsi : a₀ = c₀ =1500 ; a₁ et c₁ représentent les salaires perçus à la fin du deuxième mois.

1) Calculer a₁ et c₁, a₂ et c₂.

2)
  a) Pour tout entier naturel n, exprimer a_n+1 en fonction de a_n. Quelle est la nature de la suite (a_n) ?
  b) En déduire, pour tout entier naturel n, l'expression de a_n en fonction de n.

3)
  a) Justifier que, pour tout entier naturel n :
  c_n+1 = 1,002c_n + 4.

  b) On considère la suite (v_n) telle que, pour tout entier naturel n, v_n = c_n + 2000.
  Démontrer que la suite (v_n) est une suite géométrique de raison 1,002.
  Calculer v₀ et, pour tout entier naturel n, exprimer v_n en fonction de n.
  En déduire que :
  c_n = 3500 ´ 1,002ⁿ - 2000.

4) Calculer, puis comparer les salaires annuels d'Alice et Carole ont perçus au cours de leur première année de travail.

Si q est un réel différent de 1 et n un entier naturel supérieur à 2,

et .

Utilisation des suites arithmétiques, géométriques et arithmético-géométriques pour comparer les salaires sur 1 an.

1) a₁ = a₀ + 8 = 1 508 euros
c₁ = 1,002 ´  1 500 + 4 = 1 507 euros
a₂ = 1 508 + 8 = 1 516 euros
c₂ = 1,002 ´  1 507 + 4 = 1 514 euros

2) a) on a a_n+1 = a_n + 8
la suite est une suite arithmétique de raison r = 8 et de premier terme a₀ = 1 500

b) on a donc a_n = a₀ + nr
a_n = 1 500 + 8n N

3)
= 1,002c_n + 4

4) on a v_n = c_n + 2 000 N
v_n+1 = c_n+1 + 2 000 = 1,002 c_n + 2 004 = 1,002(c_n + 2 000) = 1,002 v_n
donc la suite est une suite géométrique de premier terme v₀ = 3 500 et de raison q = 1,002.
On en déduit que :
v_n = (1,002)ⁿ ´  3 500 N
or v_n = c_n + 2 000
donc c_n = v_n - 2 000 = (1,002)ⁿ ´  3 500 - 2 000 N

5) Salaire annuel perçu par Alice :
S = a₀ + a₁ + a₂ +.....+ a₁₁
= 1 500 + 1 500 + 8 +.....+ 1 500 + 8 ´  11
= 12 ´  1 500 + 8(1 + 2 +.....+ 11)

= 18 000 + 528 = 18 528

Salaire annuel perçu par Carole :
S' = c₀ + c₁ +.....+ c₁₁
= 3 500 - 2 000 + 1,002 ´  3 500 - 2 000 +.....+ (1,002)¹¹ ´ 3 500 - 2 000
= 3 500[1 + 1,002 +.....+ (1,002)¹¹] - 12 ´  2 000

= 3 500 ´  12,1328 - 24 000
= 18 465

donc au cours de la première année, le salaire d'Alice est supérieur à celui de Carole.

La dernière question nécessitait l'usage de la calculatrice.