Le sujet 2002 - Bac Général L spé Maths - Mathématiques - Exercice |
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Alice et Carole comparent leurs salaires. Elles débutent chacune avec un salaire de 1 500 euros.
Chaque mois, à partir du deuxième mois :
- Le salaire d'Alice augmente de 8 euros.
- Le salaire de Carole augmente de 0,2% et on y ajoute 4 euros.
Pour tout entier naturel n, on désigne par an le salaire mensuel en euros
que perçoit Alice à la fin du (n+1)-ième mois, et par cn celui perçu par Carole.
Ainsi : a0 = c0 =1500 ; a1 et c1 représentent les salaires perçus à la fin du deuxième mois.
1) Calculer a1 et c1, a2 et c2.
2)
a) Pour tout entier naturel n, exprimer an+1 en fonction de an. Quelle est la nature de la suite (an) ?
b) En déduire, pour tout entier naturel n, l'expression de an en fonction de n.
3)
a) Justifier que, pour tout entier naturel n :
cn+1 = 1,002cn + 4.
b) On considère la suite (vn) telle que, pour tout entier naturel n, vn = cn + 2000.
Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 1,002.
Calculer v0 et, pour tout entier naturel n, exprimer vn en fonction de n.
En déduire que :
cn = 3500 ´
1,002n - 2000.
4) Calculer, puis comparer les salaires annuels d'Alice et Carole ont perçus au cours de leur première année de travail.
Rappel
Si q est un réel différent de 1 et n un entier naturel supérieur à 2,
et .
I - QUEL INTERET POUR CE SUJET ?
Utilisation des suites arithmétiques, géométriques et arithmético-géométriques pour comparer les salaires sur 1 an.
II- LE DEVELOPPEMENT
1) a1 = a0 + 8 = 1 508 euros
c1 = 1,002 ´
1 500 + 4 = 1 507 euros
a2 = 1 508 + 8 = 1 516 euros
c2 = 1,002 ´
1 507 + 4 = 1 514 euros
2) a) on a an+1 = an + 8
la suite est une suite arithmétique de raison r = 8 et de premier terme a0 = 1 500
b) on a donc an = a0 + nr
an = 1 500 + 8n N
3)
= 1,002cn + 4
4) on a vn = cn + 2 000 N
vn+1 = cn+1 + 2 000 = 1,002 cn + 2 004 = 1,002(cn + 2 000) = 1,002 vn
donc la suite est une suite géométrique de premier terme v0 = 3 500 et de raison q = 1,002.
On en déduit que :
vn = (1,002)n ´
3 500 N
or vn = cn + 2 000
donc cn = vn - 2 000 = (1,002)n ´
3 500 - 2 000 N
5) Salaire annuel perçu par Alice :
S = a0 + a1 + a2 +.....+ a11
= 1 500 + 1 500 + 8 +.....+ 1 500 + 8 ´
11
= 12 ´
1 500 + 8(1 + 2 +.....+ 11)
= 18 000 + 528 = 18 528
Salaire annuel perçu par Carole :
S' = c0 + c1 +.....+ c11
= 3 500 - 2 000 + 1,002 ´
3 500 - 2 000 +.....+ (1,002)11 ´
3 500 - 2 000
= 3 500[1 + 1,002 +.....+ (1,002)11] - 12 ´
2 000
= 3 500 ´
12,1328 - 24 000
= 18 465
donc au cours de la première année, le salaire d'Alice est supérieur à celui de Carole.
III - UN COMMENTAIRE MATHEMATIQUE
La dernière question nécessitait l'usage de la calculatrice.
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