Annales gratuites Bac S : Complexes et géométrie

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct (0;;) (unité graphique : 1 cm).
Soient A, B et I les points d'affixes respectives 1 + i, 3 − i et 2.
A tout point M d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z' telle que z' = z² − 4z. Le point M' est appelé l'image de M.

1. Faire une figure sur une feuille de papier millimétré et compléter cette figure tout au long de l'exercice.

2. Calculer les affixes des points A' et B', images respectives des points A et B.
Que remarque-t-on ?

3. Déterminer les points qui ont pour image les points d'affixe ‒5.

4. a) Vérifier que pour tout nombre complexe z, on a : z' + 4 = (z ‒ 2)²
    b) En déduire une relation entre |z' + 4| et | z ‒ 2| et, lorsque z est différent de 2, une relation entre arg (z' + 4) et arg (z − 2).
    c) Que peut-on dire du point M' lorsque M décrit le cercle C de centre I et de rayon 2 ?

5. Soient E le point d'affixe, J le point d'affixe ‒4 et E' l'image de E.
    a) Calculer la distance IE et une mesure en radians de l'angle.
    b) Calculer la distance JE' et une mesure en radians de l'angle.
    c) Construire à la règle et au compas le point E' ; on laissera apparents les traits de construction.

(5 points)

I - L'ANALYSE DU SUJET

Utilisation des complexes à des fins géométriques.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME

Calculs algébriques de complexes.
Application géométrique du module et de l'argument.

III - LES DIFFICULTES DU SUJET

● Attention aux ensembles de points
(Raisonner par équivalence)
●  Problème de construction

IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

Bien dominer le calcul algébrique et les applications géométriques.

V - LES RESULTATS

1. Voir graphique

2.
z_A = 1 + i
z_A' = (1 + i)² − 4(1 + i)
z_A' = 1 − 1 + 2i − 4 − 4i
z_A' = −4 − 2i
z_B = 3 − i
z_B' = (3 − i)² − 4(3 − i)
z_B' = 9 − 1 −6i − 12 + 4i
z_B' = − 4 − 2i
Les points A' et B' sont confondus.

3. Il faut résoudre
‒5 = z² ‒ 4z
D'où
z² ‒ 4z + 5 = 0
∆ = ‒4 < 0
L'équation admet deux solutions complexes conjuguées.
 ou
Les points qui ont pour image le point d'affixe -5 sont les points d'affixe 2+i et 2-i.

4.  a) z' + 4 = z² ‒4z + 4 = (z ‒2)²
     b)
arg (z' + 4) = arg ((z ‒2)²)(2π)
                = 2 arg (z ‒2) (2π)
     c) M décrit C <=> IM = 2
                        <=>
                        <=>
M' décrit le cercle C' de centre J le point d'affixe -4 et de rayon 4.

5.  a)   

      b)    

c) E' est l'intersection de C' et de la demi-droite issue de J, formant un angle de avec