Annales gratuites Bac ST2S : Concentration de lactate

PARTIE A : ETUDE D'UNE FONCTION

On considère la fonction f définie sur l'intervalle par :

1. Montrer que la dérivée f' de la fonction f est définie par l'égalité suivante :

2. a. Calculer les valeurs exactes de f(0) et f(4)
b. Etudier le signe de f'(t)
c. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle .

3. Reproduire et compléter la tableau de valeurs suivant (on arrondira à 10^-2 près) :

4. Construire la courbe C représentative de la fonction f dans un plan muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques :
1 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses ;
5 cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées.

Lors d'un exercice physique d'une durée de 10 min, on a mesuré la concentration (en mmol.L^-1) de lactate sanguin d'un patient. On suppose que cette concentration au temps t (exprimé en minutes) est f(t) où f est la fonction étudiée à la partie A.

1. a. A quel moment la concentration de lactate est-elle maximum ? Justifier.
b. Quelle est alors cette concentration ?

Les questions suivantes sont traitées graphiquement et l'on fera apparaître les traits de construction utiles sur le graphique.

2. Quel est le taux de lactate au bout de 5 min ?

3. Au bout d'une minute, le taux de lactate est très voisin de 2. Au bout de combien de temps le taux de lactate atteint-il à nouveau cette valeur ?

4. Dans quel intervalle de temps le taux de lactate est-il supérieur à 2,5 ?
 

Etude d'une fonction logarithme népérien pour mesurer la concentration de lactate sanguin d'un patient.

1.

d'où

2.a. f(0) = 1
f(4) = -0,72 + 2,15 ln5
b. f'(t) est du signe de - 0,43t + 1,72 car sur l'intervalle , > 0.
équivaut à
Ce qui équivaut à
Par conséquent ssi

3. Il en résulte le tableau de variation suivant :

4.

1.a. Au moment où la fonction f présente un maximum, soit à l'instant t = 4.
b. La concentration est alors de soit 2,74 à 10^-2 près.

2. Taux de lactate au bout de 5 minutes : f(5) = 2,7

3. Le taux de lactate est de nouveau voisin de 2 au bout de 9 minutes environ.

4. Le taux de lactate est supérieur à 2,5 lorsque environ.

Il fallait bien savoir interpréter le graphique obtenu.