Le sujet 2005 - Bac ST2S - Mathématiques - Problème |
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PARTIE A : ETUDE D'UNE FONCTION
On considère la fonction f définie sur l'intervalle par :
1. Montrer que la dérivée f' de la fonction f est définie par l'égalité suivante :
2. a. Calculer les valeurs exactes de f(0) et f(4)
b. Etudier le signe de f'(t)
c. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle .
3. Reproduire et compléter la tableau de valeurs suivant (on arrondira à 10-2 près) :
t |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
6 |
8 |
10 |
f(t) |
2,06 |
2,6 |
1,86 |
4.
Construire la courbe C représentative de la fonction f dans un plan muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques :PARTIE B : CONTROLE DU TAUX DE LACTATE DANS LE SANG
Lors d'un exercice physique d'une durée de 10 min, on a mesuré la concentration (en mmol.L-1) de lactate sanguin d'un patient. On suppose que cette concentration au temps t (exprimé en minutes) est f(t) où f est la fonction étudiée à la partie A.
1. a. A quel moment la concentration de lactate est-elle maximum ? Justifier.
b. Quelle est alors cette concentration ?
Les questions suivantes sont traitées graphiquement et l'on fera apparaître les traits de construction utiles sur le graphique.
2. Quel est le taux de lactate au bout de 5 min ?
3. Au bout d'une minute, le taux de lactate est très voisin de 2. Au bout de combien de temps le taux de lactate atteint-il à nouveau cette valeur ?
4. Dans quel intervalle de temps le taux de lactate est-il supérieur à 2,5 ?
I - QUEL INTERET POUR CE SUJET ?
Etude d'une fonction logarithme népérien pour mesurer la concentration de lactate sanguin d'un patient.
II - LE DEVELOPPEMENT
PARTIE A
1.
d'où
2.a. f(0) = 1
f(4) = -0,72 + 2,15 ln5
b. f'(t) est du signe de - 0,43t + 1,72 car sur l'intervalle ,
> 0.
équivaut à
Ce qui équivaut à
Par conséquent ssi
3. Il en résulte le tableau de variation suivant :
t |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
6 |
8 |
10 |
f (t) |
1 |
2,06 |
2,50 |
2,69 |
2,74 |
2,60 |
2,28 |
1,86 |
4.
PARTIE B
1.a. Au moment où la fonction f présente un maximum, soit à l'instant t = 4.
b. La concentration est alors de soit 2,74 à 10-2 près.
2. Taux de lactate au bout de 5 minutes : f(5) = 2,7
3. Le taux de lactate est de nouveau voisin de 2 au bout de 9 minutes environ.
4. Le taux de lactate est supérieur à 2,5 lorsque environ.
III - LE COMMENTAIRE MATHEMATIQUE
Il fallait bien savoir interpréter le graphique obtenu.
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