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Annales gratuites Bac ES : Contrôle qualité

Le sujet  2005 - Bac ES - Mathématiques - Exercice Imprimer le sujet
LE SUJET


Une usine d'emballage de pommes est approvisionnée par trois producteurs. Le premier producteur fournit 70 % de l'approvisionnement de cette usine, le reste étant également partagé entre le deuxième producteur et le troisième.
Avant d'être emballées, les pommes sont calibrées par une machine pour les trier selon leur diamètre. Les pommes dont le diamètre est conforme aux normes en vigueur sont emballées, les autres, dites "hors calibre", sont rejetées.

Il a été constaté que :

  • 20 % des pommes fournies par le premier producteur sont hors calibre,
  • 5 % des pommes fournies par le second producteur sont hors calibre et
  • 4 % des pommes fournies par le troisième producteur sont hors calibre.
  • Chaque jour les pommes livrées par les différents producteurs sont entreposées dans le même hangar. Pour l'étude du problème qui suit, on convient qu'elles sont bien mélangées.
    Un contrôle de qualité sur les pommes est effectué de la manière suivante :
    un contrôleur choisit de manière aléatoire une pomme dans ce hangar, puis mesure son diamètre pour déterminer si elle est de "bon calibre" ou "hors calibre".
    Un mercredi matin, un contrôle de qualité est effectué par le contrôleur de la manière décrite ci-dessus.

    On appellera :

  • F1 l'événement : "la pomme prélevée provient du premier producteur"
  • F2 l'événement : "la pomme prélevée provient du deuxième producteur"
  • F3 l'événement : "la pomme prélevée provient du troisième producteur"
  • C l'événement : "la pomme prélevée a un bon calibre"
  • l'événement : "la pomme prélevée est hors calibre".
  • Tous les résultats de cet exercice seront donnés à 10-4 près.

    1. Déterminer les probabilités des événements F2 et F3.

    2. Recopier sur votre copie et compléter l'arbre suivant :

    3. Justifier que la probabilité pour que la pomme prélevée ait le bon calibre et provienne du troisième producteur est 0,1440.

    4. Montrer que la probabilité pour que la pomme prélevée ait le bon calibre est : 0,8465.

    5. La pomme mesurée est hors calibre. Le contrôleur affirme :
    "Cette pomme provient très probablement du premier producteur".
    Quel calcul permet de justifier cette affirmation ?
    Faire ce calcul et conclure.
     

    LE CORRIGÉ


    I - QUEL INTERET POUR CE SUJET ?

    Calcul de probabilités, simples ou conditionnelles, dans une situation de production agricole.

    II - LE DEVELOPPEMENT

    1. 30 % de l'approvisionnement est partagé également entre le deuxième et le troisième producteur ; donc :
    p (F2) = p (F3) = 0,15

    2.

    3. On a :
    La probabilité pour que la pomme prélevée ait le bon calibre et provienne du troisième producteur est bien égale à 0,1440.

    4. F1, F2 et F3 réalisent une partition de l'univers ; donc, d'après la formule des probabilités totales :

    p(C) = p(CÇ F1) + p(CÇ F2) + p(CÇ F3)

    p(C) = 0,8 ´ 0,7 + 0,95 ´ 0,15 + 0,96 ´ 0,15
    p(C) = 0,8465

    Ainsi la probabilité pour que la pomme prélevée ait le bon calibre est : 0,8465.

    5. Pour valider l'affirmation, on doit calculer la probabilité de F1 sachant :



    Cette probabilité est supérieure à 0,9, donc très proche de 1, donc l'affirmation est justifiée.

    III - LE COMMENTAIRE MATHEMATIQUE

    Un exercice de probabilités, assez classique, où l'on utilise un arbre pour analyser une expérience aléatoire composée.
    Compétences utilisées : probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales.
     

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