Suivez-nous
 >   >   >   > Coût de fabrication

Annales gratuites Bac STG Comm. gestion RH : Coût de fabrication

Le sujet  2010 - Bac STG Comm. gestion RH - Mathématiques - Exercice Imprimer le sujet
Avis du professeur :
Le sujet exploite l'étude d'une fonction polynôme dans le cadre économique d'une entreprise : réalisation d'un bénéfice maximum.

Le sujet nécessite de bien savoir interpréter les résultats mathématiques en termes économiques.
LE SUJET

Exercice 2 :

Un laboratoire pharmaceutique fabrique et commercialise un produit. Ce laboratoire peut produire de 5 à 30 kg de produit par semaine.

a. Etude du prix de revient unitaire moyen :

  1. Le prix de revient d’un produit dépend de la quantité produite. Pour kg de produit fabriqué, le prix de revient moyen d’un kg de ce produit, exprimé en euros, est modélisé par la fonction dont l’expression est , où appartient à l’intervalle [5 ;30].

Quel est le prix de revient moyen d’un kg de produit lorsqu’on fabrique 5kg par semaine ?

On arrondira le résultat à près.

  1. A l’aide d’une calculatrice, compléter le tableau de valeurs donné en annexe 1.

On arrondira le résultat à près.

b. Etude graphique du bénéfice :

Le laboratoire s’intéresse maintenant au coût total de production, exprimé en euros et modélisé par la fonctiondont l’expression est , oùappartient à l’intervalle [5 ;30].

La courbe représentative de la fonction C sur l’intervalle [5 ;30] est donnée en annexe 2.

  1. Par lecture graphique, estimer la quantité dont le coût total de production est de 600€. On laissera apparents les traits nécessaires à la lecture graphique.

  2. Après une étude marché, le prix de vente du produit a été estimé à 60€ le kg.

Donner, en fonction de , l’expressionde la fonction modélisant la recette.

Représenter graphiquement, sur la feuille de l’annexe 2, la fonctionsur l’intervalle [5 ;30].

Le laboratoire souhaite connaître l’intervalle dans lequel doit se trouver la quantité de produit à vende pour réaliser un bénéfice. Quel est cet intervalle ?

On laissera apparents les traits nécessaires à la lecture graphique.

C. Etude algébrique du bénéfice :

Le bénéfice réalisé par l’entreprise, c'est-à-dire la différence entre la recette et le coût de production, est exprimé en euros et modélisé par la fonctiondont l’expression est, où appartient à l’intervalle [5 ;30].

  1. Conjecturer les variations deà l’aide de la calculatrice.

  2. Montrer que.

  3. En déduire les variations de B sur l’intervalle [5 ;30].

  4. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

a. On considère que la production est entièrement vendue. Déterminer la quantité à produire pour réaliser un bénéfice maximum.

b. Le service de commercialisation du laboratoire a fixé un objectif de vente entre 15 kg et 24 kg pour la semaine à venir. Quel est le bénéfice minimum envisageable ?

Annexe 1

A rendre avec la copie.

5

10

15

16,5

17

18,5

20

25

30














LE CORRIGÉ

Intérêt pour le sujet

Etude des variations d’une fonction pour déterminer son maximum.

Utiliser ce résultat afin d’optimiser un bénéfice.

Savoir et savoir-faire

Dérivée d’une fonction polynôme

Sens de variation d’une fonction

Recherche d’un maximum

Résultats

A).

1. 67,7

2. Voir tableau suivant :

5

10

15

16,5

17

18,5

20

25

30

67,7

30,5

14,8

13,6

13,6

14,5

16,9

36,2

72,4



B).

1. 23

2. a.

b. Voir graphique

c. [ 6;28]

C).

1. La fonctionest strictement croissante sur [ 5;20] et strictement décroissante sur [ 20;30].

2..

3. La fonction est strictement croissante sur [ 5;20] et strictement décroissante sur [ 20;30].

4. a. 20 kg

b. 678 €

Développement

A). Etude du prix de revient unitaire moyen :

, [ 5;30].

  1. Le prix de revient moyen d’un kg de produit pour une fabrication de 5 kg par semaine est :

soit 67,7.

2.

5

10

15

16,5

17

18,5

20

25

30

67,7

30,5

14,8

13,6

13,6

14,5

16,9

36,2

72,4



B). Etude graphique du bénéfice :

, [ 5;30].

  1. Pour lire graphiquement la quantité dont le coût total de la production est de 600€, il suffit de lire l’abscisse du point de la courbe d’ordonnée 600, soit 23.

2. a.

b.est une fonction linéaire. Sa représentation graphique est donc une droite passant par l’origine du repère et par le point de coordonnée (20 ;1200).

c. L’entreprise est bénéficiaire lorsque le prix de vente total est supérieur au coût de production.

Comme le prix de vente total est représenté par la droite et le coût de production par la courbe, alors pour déterminer l’intervalle dans lequel doit se trouver la quantité de produit à vendre pour réaliser un bénéfice, il suffit de prendre les abscisses des points de la droite situés au-dessus de la courbe.

Cet intervalle est [ 6;28].

C). Etude algébrique du bénéfice :

, [5 ;30].

1. A l’aide de la calculatrice on obtient le tableau de valeurs suivant :

6

10

15

17

19

20

21

28

30

12

295

678

789

853

861

852

115

-372



La fonctionest croissante sur l’intervalle [ 5;20] et décroissante sur l’intervalle [ 20;30].

2.

Pour montrer que il suffit de développer puis de réduire le produit des facteurs :

on a ,
soit .

3.
est du signe de car sur l’intervalle .

On a donc équivaut à
soit
et pour .

On en déduit que la fonction est strictement croissante sur l’intervalle et strictement décroissante sur l’intervalle .

4. a) La quantité à produire pour réaliser un bénéfice maximum est de 20 kg.

b) On a

Comme la fonction est strictement croissante sur l’intervalle et strictement décroissante sur l’intervalle alors le bénéfice minimum envisageable est de 678€

Annexe 2



Difficultés

Associer le graphique au modèle économique proposé afin de faire les bonnes lectures.

2021 Copyright France-examen - Reproduction sur support électronique interdite