Exercice 1 (5 points)

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (O ; ) d’unité graphique 1 cm. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d’argument .

1. Soit , où z désigne un nombre complexe.

   1. Vérifier que .

   2. Résoudre, dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation .

2. On considère les points A, B et C d’affixes respectives :

, et .

1. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes et .

2. Ecrire le nombre complexe sous la forme où est un nombre réel strictement positif et un nombre réel compris entre et .

3. Justifier que les points A, B et C sont sur un même cercle dont on précisera le centre etle rayon.

4. Placer les points A, B et C dans le plan muni du repère (O ; ).

3. Le point D est l’image du point C par la rotation de centre 0 et d’angle . On appelle l’affixe du point D.

Montrer que , puis placer le point D sur la figure précédente.

4. Soit l’ensemble F des points dont l’affixe vérifie l’égalité : .

   1. Vérifier que les point O, B et C appartiennent à l’ensemble F .

   2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

L’ensemble F est l’image du cercle par centaines transformations du plan.

En citer une et préciser ses éléments caractéristiques.

Quel intérêt pour ce sujet

On étudie les caractéristiques géométriques des images des solutions d’une équation complexe.

Savoirs et savoir-faire

• Module et argument

• Forme trigonométrique exponentielle

• Equation complexe d’un cercle

• Translation

Résultats

1. 
   a) .
   b) si et seulement si .

2. 
   a)
   .
   b) .
   c)
   Les points sont sur le cercle de centre et de rayon .

3. .

4. est l’image de par la translation de vecteur .

Développement

1. 
   a) Soit ,
   on a
   donc .
   b) si et seulement si
   si et seulement si ou
   si et seulement si
   
   
   d’où ou
   Soit l’ensemble des solutions de l’équation ,
   on a .

2. 
   a) On a
   donc
   et donc .
   D’où .
   Soit , un argument de
   on a et
   donc .
   On a
   donc
   et .
   b) On a et .
   c) On a
   donc .
   Les points sont sur le cercle de centre et de rayon .
   d)

3. est l’image de par la rotation de centre et d’angle
   donc
   et donc .
   Par ailleurs ,
   donc .
   Donc .

4. Soit l’ensemble des points dont l’affixe vérifie .
   a) appartient à
   
   
   donc appartient à  ;
   
   
   donc appartient à .
   b) est l’ensemble des points d’affixe telles que .
   Soit
   est le cercle de centre et de rayon et donc est l’image du cercle par la translation de vecteur .

Difficultés

Il fallait bien savoir interpréter géométriquement l’ensemble