Annales gratuites Bac S : Equation différentielle

Un chariot de masse 200 kg se déplace sur une voie rectiligne et horizontale. Il est soumis à une force d'entraînement constante de valeur 50 N. Les forces de frottement sont proportionnelles à la vitesse et de sens contraire ; le coefficient de proportionnalité a pour valeur absolue 25 N.m ^-1.s ^-1.

La position du chariot est repérée par la distance x, en mètres, du point H à l'origine O du repère en fonction du temps t, exprimé en secondes. On prendra t dans l'intervalle [0 ; + [.
Les lois de Newton conduisent à l'équation différentielle du mouvement (E) 25x' + 200x" = 50, où :

x' est la dérivée de x par rapport au temps t,
x" est la dérivée seconde de x par rapport au temps t.

1) On note v(t) la vitesse du chariot au temps t ; on rappelle que v(t) = x'(t). Prouver que x est solution de (E) si et seulement si x' est solution de l'équation différentielle (F) . Résoudre l'équation différentielle (F).

2) On suppose que, à l'instant t = 0, on a : x(0) = 0 et x' (0) = 0.
a) Calculer, pour tout nombre réel t positif, x' (t)
b) En déduire que l'on a, pour tout nombre réel t positif, x(t) = 2t - 16 + 16e^-t/8

3) Calculer V = . Pour quelles valeurs de t la vitesse du chariot est-elle inférieure ou égale à 90% de sa valeur limite V ?

4) Quelle est la distance parcourue par le chariot au bout de 30 secondes ? On exprimera cette distance en mètres, au décimètre près.

Equation différentielle d'un mouvement pour calculer la vitesse et la distance parcourue par un chariot.

(E) : 25x' +  200x'' = 50

1) v(t) = x '(t)
on en déduit v '(t) = x''(t).
x est solution de (E) équivaut à :
25 v(t) + 200 v'(t) = 50
200 v '(t) = -25 v(t) + 50
.
x est solution de (E) équivaut à :

Soit .
Résoudre (F) : .
On sait que l'ensemble des solutions sur de l'équation différentielle y' = ay + b est :
l'ensemble des fonctions définies pour tout x réel par
, où C est une constante réelle.
On en déduit que l'ensemble des solutions de (F) est l'ensemble des fonctions de la forme :
, où C est une constante réelle et t Î .

2) x(0) = 0, x '(0) = 0.

a) x'(t) = v(t).
Soit .
x'(0) = 0 donc C + 2 = 0,
soit C = -2.
D'où , t Î .

b) On en déduit que :
, t Î  ,
C étant une constante réelle.
x(0) = 0 donc 16 +  = 0,
soit C = -16.
On obtient donc
, t Î .

3) .
Comme , alors .
Les valeurs de t pour lesquelles la vitesse du chariot est inférieure ou égale à 90% de sa valeur limite v sont les solutions de l'inéquation
v(t) £  0,9 ´  2




t £  -8 ln 0,1,
t £  8 ln 10,
soit 0 £  t £  8 ln 10.

4) La distance parcourue par le chariot au bout de 30 secondes est : 
,
,
soit 44,4 m. à 1 décimètre près par excès.

Il fallait savoir résoudre une équation différentielle du premier ordre avec second membre du type y' = ay + b.