Annales gratuites Bac S : Evolution d'une population

Soit f la fonction définie sur par

a. Démontrer que .
b. Étudier les limites de la fonction f en + ¥ et en - ¥ .
c. Étudier les variations de la fonction f.

1. On a étudié en laboratoire l'évolution d'une population de petits rongeurs. La taille de la population, au temps t, est notée g(t). On définit ainsi une fonction g de l'intervalle [0 ; + ¥ [ dans . La variable réelle t désigne le temps, exprimé en années. L'unité choisie pour g(t) est la centaine d'individus. Le modèle utilisé pour décrire cette évolution consiste à prendre pour g une solution, sur l'intervalle [0 ; + ¥ [, de l'équation différentielle (E₁) .
1.a. Résoudre l'équation différentielle (E₁).
1.b. Déterminer l'expression de g(t) lorsque, à la date t = 0, la population comprend 100 rongeurs, c'est-à-dire
g(0) = 1.
1.c. Après combien d'années la population dépassera-t-elle 300 rongeurs pour la première fois ?

2. En réalité, dans un secteur observé d'une région donnée, un prédateur empêche une telle croissance en tuant une certaine quantité de rongeurs. On note u(t) le nombre des rongeurs vivants au temps t (exprimé en années) dans cette région, et on admet que la fonction u, ainsi définie, satisfait aux conditions :

(E₂) : pour tout nombre réel t positif ou nul,
où u' désigne la fonction dérivée de la fonction u.
2.a. On suppose que, pour tout réel positif t, on a u(t) > 0. On considère, sur l'intervalle [0 ; + ¥ [, la fonction h définie par . Démontrer que la fonction u satisfait aux conditions (E₂) si et seulement si la fonction h satisfait aux conditions

(E₃) : pour tout nombre réel t positif ou nul,
où h' désigne la fonction dérivée de la fonction h.

2.b. Donner les solutions de l'équation différentielle et en déduire l'expression de la fonction h, puis celle de la fonction u.
2.c. Dans ce modèle, comment se comporte la taille de la population étudiée lorsque t tend vers + ¥ ?
 

Utilisation des équations différentielles pour étudier la taille d'une population.

a.
On a donc prouvé que

Limite de f en +¥ :

Par somme et quotient :
Par conséquent

Limite de f en -¥

donc
Par quotient

c. f est dérivable sur comme quotient de fonctions.

donc f ' (x) > 0.
f est strictement croissante sur

1.a. L'équation différentielle (E₁) a pour solutions les fonctions g définies par :

où C est une constante réelle.

b. On a g(0) = 1 donc C = 1
par conséquent
c. Cherchons un entier naturel t pour que:

A partir de la cinquième année, la population dépassera 300 rongeurs pour la première fois.

2.a. u satisfait aux conditions de (E₂) si et seulement si

Remplaçons u par , on a et
Par conséquent :
u satisfait aux conditions de (E₂) si et seulement si :

si et seulement si
si et seulement si h satisfait aux conditions de (E₃).

b. Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions h définies par

Comme de plus, h(0) = 1, on a d'où
Par conséquent

on a

c. On reconnaît pour u la fonction f de la partie A.
Par conséquent
La population va croître vers 300 individus sans jamais atteindre ni dépasser ce nombre.

Exercice classique d'utilisation d'équations différentielles afin de répondre à un problème concret.