Suivez-nous
 >   >   >   > Evolution de la population

Annales gratuites Bac Général ES spé Maths : Evolution de la population

Le sujet  2005 - Bac Général ES spé Maths - Mathématiques - Exercice Imprimer le sujet
LE SUJET


Au 1er janvier 2005, une ville en pleine expansion avait une population de 100 000 habitants.
Un bureau d'étude fait l'hypothèse qu'à partir du 1er janvier 2005 :

  • le nombre d'habitants de la ville augmente chaque année de 5% du fait des naissances et des décès ;
  • du fait des mouvements migratoires, 4 000 personnes supplémentaires viennent s'installer chaque année dans cette ville.
  • PARTIE A : ETUDE THEORIQUE

    Pour tout entier naturel n, on note un le nombre d'habitants de cette ville au 1er janvier de l'année 2005 + n.
    Ainsi, u0 = 100 000.
    1. Calculer u1 et u2.
    2. Justifier que, pour tout entier naturel n, on pose un+1 = 1,05un+ 4 000.
    3. Pour tout entier naturel n, on pose vn = un+80 000.
    a. Calculer v0.
    b. Montrer que (vn)n est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
    c. Exprimer vn en fonction de n. En déduire que un = 180 000 ´ (1,05)n - 80 000.
    d. Calculer la limite de la suite (Un)n

    PARTIE B

    Le but de cette partie est de prévoir l'évolution de la population jusqu'en 2020, en utilisant le modèle théorique étudié à la PARTIE A.
    1.
    Quel sera le nombre d'habitants de la ville au 1er janvier 2020 ?
    2. A partir de quelle année la population de cette ville dépassera-t-elle 200 000 habitants ?

    FORMULAIRE POUR L'EXERCICE 2
    SUITES ARITHMETRIQUES, SUITES GEOMETRIQUES

    Suite arithmétique de premier terme et de raison :
    Pour tout, un+1 = un+a,    un = u0+na

    Suite géométrique de premier terme et de raison :
    pour tout , un+1 = bun,    un = u0bn

    Somme de termes:

    Si b¹ 1 alors .
     

    LE CORRIGÉ


    I - QUEL INTERET POUR CE SUJET ?

    Etudier l'évolution d'une population, à l'aide d'une suite arithmético-géométrique.

    II - LE DEVELOPPEMENT

    PARTIE A : ETUDE THEORIQUE

    1. Pour augmenter une quantité de 5%, on la multiplie par le coefficient 1,05. D'où :
    u1 = 1,05u0 + 4 000 = 1,05 ´ 100 000 + 4 000 = 109 000
    u2 = 1,05u1 + 4 000 = 1,05 ´ 109 000 + 4 000 = 118 450.

    2. Chaque année la population augmente de 5% du fait des naissances et décès, et de 4 000 personnes du fait des flux migratoires, donc :
    un+1 = 1,05´ un + 4 000 (pour tout naturel n).

    3.a. v0 = u0 + 80 000 = 180 000

    b. Pour tout entier naturel n, on a :
    vn+1 = un+1 + 80 000
    vn+1 = 1,05un + 4 000 + 80 000
    vn+1 = 1,05un + 1,05 ´ 80 000
    vn+1 = 1,05(un + 80 000)
    vn+1 = 1,05´ vn.
    Ainsi pour tout naturel n : vn+1 = 1,05´ vn ;
    on en déduit que (vn) est la suite géométrique de premier terme v0 = 180 000 et de raison q = 1,05.

    c. D'après la question précédente :
    vn = v0 ´  qn = 180 000 ´ (1,05)n.
    Or : vn = un + 80 000 ;
    donc : un = vn - 80 000,
    Et donc pour tout naturel n, un = 180 000 ´ 1,05n - 80 000.

    d. 1,05 > 1 ; donc la suite (géométrique) de terme général 1,05n diverge vers +¥ .
    Donc : lim(180 000 ´ 1,05n) = +¥
    et donc : .

    PARTIE B

    1. 2020 = 2005 + 15 ; donc la population au 01/01/2020 correspond au terme de rang 15 de la suite (un).
    u15 = 180 000 ´  1,0515 - 80 000 soit 294 207.
    Le nombre d'habitants au 01/01/2020 sera environ égal à 294 207.

    2. un ³  200 000 équivaut successivement à :
    180 000 ´  1,05n - 80 000 ³  200 000
    180 000 ´  1,05n ³  280 000

    Or la fonction ln est croissante sur ]0 ; +¥ [, donc :


    Or 1,05 > 1 ; donc : ln(1,05) > 0.
    D'où : .
    Conclusion : la population dépassera 200 000 habitants à partir de n = 10, c'est-à-dire à partir de l'année 2015.

    III - LE COMMENTAIRE MATHEMATIQUE

    Cette exercice classique propose d'étudier l'évolution d'une population à l'aide d'une suite arithmético-géométrique.
    Compétences utilisées : suites géométriques ; formule de récurrence ; inéquation avec inconnue en exposant.
     

    2021 Copyright France-examen - Reproduction sur support électronique interdite