Le sujet 2005 - Bac Général ES spé Maths - Mathématiques - Exercice |
Au 1er janvier 2005, une ville en pleine expansion avait une population de 100 000 habitants.
Un bureau d'étude fait l'hypothèse qu'à partir du 1er janvier 2005 :
PARTIE A : ETUDE THEORIQUE
Pour tout entier naturel n, on note un le nombre d'habitants de cette ville au 1er janvier de l'année 2005 + n.
Ainsi, u0 = 100 000.
1. Calculer u1 et u2.
2. Justifier que, pour tout entier naturel n, on pose un+1 = 1,05un+ 4 000.
3. Pour tout entier naturel n, on pose vn = un+80 000.
a. Calculer v0.
b. Montrer que (vn)n est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
c. Exprimer vn en fonction de n. En déduire que un = 180 000 ´
(1,05)n -
80 000.
d. Calculer la limite de la suite (Un)n
PARTIE B
Le but de cette partie est de prévoir l'évolution de la population jusqu'en 2020, en utilisant le modèle théorique étudié à la PARTIE A.
1. Quel sera le nombre d'habitants de la ville au 1er janvier 2020 ?
2. A partir de quelle année la population de cette ville dépassera-t-elle 200 000 habitants ?
FORMULAIRE POUR L'EXERCICE 2
SUITES ARITHMETRIQUES, SUITES GEOMETRIQUES
Suite arithmétique de premier terme et de raison :
Pour tout, un+1 = un+a, un = u0+na
Suite géométrique de premier terme et de raison :
pour tout , un+1 = bun, un = u0bn
Somme de termes:
Si b¹
1 alors .
I - QUEL INTERET POUR CE SUJET ?
Etudier l'évolution d'une population, à l'aide d'une suite arithmético-géométrique.
II - LE DEVELOPPEMENT
PARTIE A :
ETUDE THEORIQUE1. Pour augmenter une quantité de 5%, on la multiplie par le coefficient 1,05. D'où :
u1 = 1,05u0 + 4 000 = 1,05 ´
100 000 + 4 000 = 109 000
u2 = 1,05u1 + 4 000 = 1,05 ´
109 000 + 4 000 = 118 450.
2. Chaque année la population augmente de 5% du fait des naissances et décès, et de 4 000 personnes du fait des flux migratoires, donc :
un+1 = 1,05´
un + 4 000 (pour tout naturel n).
3.a. v0 = u0 + 80 000 = 180 000
b. Pour tout entier naturel n, on a :
vn+1 = un+1 + 80 000
vn+1 = 1,05un + 4 000 + 80 000
vn+1 = 1,05un + 1,05 ´
80 000
vn+1 = 1,05(un + 80 000)
vn+1 = 1,05´
vn.
Ainsi pour tout naturel n : vn+1 = 1,05´
vn ;
on en déduit que (vn) est la suite géométrique de premier terme v0 = 180 000 et de raison q = 1,05.
c. D'après la question précédente :
vn = v0 ´
qn = 180 000 ´
(1,05)n.
Or : vn = un + 80 000 ;
donc : un = vn - 80 000,
Et donc pour tout naturel n, un = 180 000 ´
1,05n - 80 000.
d. 1,05 > 1 ; donc la suite (géométrique) de terme général 1,05n diverge vers +¥
.
Donc : lim(180 000 ´
1,05n) = +¥
et donc : .
PARTIE B
1. 2020 = 2005 + 15 ; donc la population au 01/01/2020 correspond au terme de rang 15 de la suite (un).
u15 = 180 000 ´
1,0515 - 80 000 soit 294 207.
Le nombre d'habitants au 01/01/2020 sera environ égal à 294 207.
2. un ³
200 000 équivaut successivement à :
180 000 ´
1,05n - 80 000 ³
200 000
180 000 ´
1,05n ³
280 000
Or la fonction ln est croissante sur ]0 ; +¥
[, donc :
Or 1,05 > 1 ; donc : ln(1,05) > 0.
D'où : .
Conclusion : la population dépassera 200 000 habitants à partir de n = 10, c'est-à-dire à partir de l'année 2015.
III - LE COMMENTAIRE MATHEMATIQUE
Cette exercice classique propose d'étudier l'évolution d'une population à l'aide d'une suite arithmético-géométrique.
Compétences utilisées : suites géométriques ; formule de récurrence ; inéquation avec inconnue en exposant.