Le sujet 2007 - Bac S - Mathématiques - Exercice |
Avis du professeur :
Le sujet porte sur l'étude d'une fonction logarithme et d'une
suite récurrente. |
(5 points)
On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]-1 ; +∞[
par :
La courbe C représentative de f est donnée sur le document annexe que l'on complètera et que l'on rendra avec la copie.
Partie A : Etude de certaines propriétés de la courbe C
1. On note f ' la fonction dérivée de f. Calculer f '(x) pour tout x de l'intervalle ]-1 ; +∞ [.
2. Pour tout x de l'intervalle ]-1 ; +∞
[, on pose N(x) = (1 + x)2 — 1 + ln(1 + x).
Vérifier que l'on définit ainsi une fonction strictement croissante sur ]-1 ; +∞
[.
Calculer N(0). En déduire les variations de f.
3. Soit D la droite d'équation y = x.
Calculer les coordonnées du point d'intersection de la courbe C et
de la droite D.
Partie B : Etude d'une suite récurrente définie à partir de la fonction f
1. Démontrer que si
2. On considère la suite (un) définie par : u0 = 4 et un+1 = f(un) pour tout n de N.
a) Sur le graphique de l'annexe, en utilisant
la courbe C et la droite D, placer les points de C d'abscisses
u0, u1, u2 et u3.
b) Démontrer que pour tout n de N on a : .
c) Etudier la monotonie de la suite (un).
d) Démontrer que la suite (un) est convergente. On
désigne par l sa limite.
e) Utiliser la partie A pour donner la valeur de l.
ANNEXE
A compléter et à rendre avec la copie.
I - L'ANALYSE DU SUJET
Dans une première partie, on étudie une fonction simple,
avec logarithme, il s'agit de trouver son sens de variation, et de résoudre
l'équation:
f(x) = x
Dans la seconde partie, on utilise les variations de f pour étudier la
convergence d'une suite définie par la relation de récurrence:
II - LES NOTIONS DU PROGRAMME
● Fonction logarithme
népérien ;
● Suites définies par récurrence ;
● Démonstration par récurrence ;
● Théorèmes de convergence d'une suite.
III - LES DIFFICULTES DU SUJET
Comprendre le lien entre l'étude de la fonction N et
le sens de variation de f (question A,2).
Maîtriser la démonstration par récurrence.
Faire judicieusement le bilan des résultats obtenus (à la dernière question).
IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE
● Dérivation des
fonctions usuelles, et applications ;
● Fonction logarithme népérien ;
● Démonstration par récurrence (mise en œuvre
et utilisation) ;
● Exploiter le sens de variation d'une
fonction ;
● Suites monotones bornées.
V - LES RESULTATS
Partie A
1.
2. N est strictement croissante sur ]-1 ; +∞[
N(o) = 0
N(x) £ 0 sur ]-1 ; 0] ; N(x)
³ 0 sur [0 ; +¥[
f'(x) a le signe de N(x)
f est (strictement) décroissante sur ]-1 ; 0]
f est (strictement) croissante sur [0 ; +¥[
3. C et D se coupent en O (0 ; 0).
Partie B
1. si n [0 ; 4], alors f (x) [0 ; 4]
2. a) voir annexe 2
b) pour tout n N, un [0 ; 4]
c) (un) est décroissante
d) (un) converge
e) l = f(l) ; (un) converge vers 0
VI - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES
Partie A :
1.
soit pour tout x de ]-1 ; +∞[
2. N(x) = (1 + x)² - 1 + ln(1 + x)
La fonction N est continue et dérivable sur ]-1 ; +∞[
(comme somme, produit et composée de fonctions dérivables).
Or pour tout x de ]-1 ; +∞[ : 1 + x > 0 et 2 (1 + x)² + 1 > 0 ;
donc : N'(x) > 0 sur ]-1 ; +∞[.
On en déduit que : N est strictement croissante sur ]-1 ; +∞[
N(0) = 1 - 1 + ln(1) donc N(0) = 0
Ainsi N est strictement croissante sur ]-1 ; +∞[ et N(0) = 0 ; on en déduit le signe de N(x) :
Or, d'après le 1. : , et pour tout x de ]-1 ; + ∞[ : (1 + x)² > 0.
Donc f'(x) a le signe et le zéro de N(x).
On en déduit que :
3. Le point d'intersection de C et D a
une abscisse solution de l'équation : f(x) = x.
Cette équation équivaut successivement à :
Soit : x = 0
Or :
Donc C et D se coupent au seul point 0 (0 ; 0).
Partie B
1.
Or f est strictement croissante sur R+, donc :
2.
a) Voir graphique annexe 2.
b) Soit Pn la
propriété : (où n désigne un entier naturel
quelconque).
Initialisation : u0 = 4, donc : u0 Î [0 ; 4]
P0 est vraie.
Hérédité : supposons Pn vraie
pour un certain n.
Alors : un Î [0 ; 4]
Donc : f(un) Î [0 ; 4] (d'après le B, 1).
Soit : un + 1 Î [0 ; 4]
Ainsi : si Pn est vraie, alors Pn+1 est
vraie; la propriété Pn est héréditaire.
Conclusion : On a démontré par récurrence que :
c) On va démontrer par récurrence que la suite (un)
est décroissante.
Soit Qn la propriété : un+1 £ un (pour
n Î ).
Initialisation : u0 = 4 et u1
= f(4) » 3,7
Donc : u1 £ u0
Q0 est vraie.
Hérédité : supposons Qn vraie
pour un certain entier n.
Alors : un+1 £ un
Or f est croissante sur R+ et pour tout n Î N, un Î [0 ; 4] (d'après les questions A,2
et B,2,b).
Donc : f(un+1) £ f(un),
Soit : un+2 £ un+1.
Ainsi : si Qn est vraie, alors Qn+1
est vraie ; la propriété Qn est héréditaire.
Conclusion : on a démontré par récurrence que pour
tout n Î : un+1£ un
La suite (un) est décroissante.
d) D'après la question précédente, (un)
est décroissante ; et d'après le B,2,b, tous les termes de cette suite
sont des réels de [0 ; 4].
Donc (un) est décroissante et minorée par 0.
On en déduit que : (un) converge.
e) D'après les questions précédentes, f est
continue sur ]-1 ; +¥[ et
pour tout n Î N :
un+1 = f(un).
Or (un) converge vers un réel l.
Donc : l = f(l)
D'après la question A,3, l'unique solution de l'équation f(x) = x,
est 0.
D'où : (un) converge vers 0.