Suivez-nous
 >   >   >   > Fonction et suite

Annales gratuites Bac S : Fonction et suite

Le sujet  2007 - Bac S - Mathématiques - Exercice Imprimer le sujet
Avis du professeur :

Le sujet porte sur l'étude d'une fonction logarithme et d'une suite récurrente.
Le sujet bien qu'assez classique nécessite des savoir-faire spécifiques.

LE SUJET


(5 points)

On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]-1 ; +∞[ par :

La courbe C représentative de f est donnée sur le document annexe que l'on complètera et que l'on rendra avec la copie.

Partie A : Etude de certaines propriétés de la courbe C

1. On note f ' la fonction dérivée de f. Calculer f '(x) pour tout x de l'intervalle ]-1 ; +∞ [.

2. Pour tout x de l'intervalle ]-1 ; +∞ [, on pose N(x) = (1 + x)2 — 1 + ln(1 + x).
Vérifier que l'on définit ainsi une fonction strictement croissante sur ]-1 ; +∞ [.
Calculer N(0). En déduire les variations de f.

3. Soit D la droite d'équation y = x.
Calculer les coordonnées du point d'intersection de la courbe C et de la droite D.

Partie B : Etude d'une suite récurrente définie à partir de la fonction f

1. Démontrer que si

2. On considère la suite (un) définie par : u0 = 4 et un+1 = f(un) pour tout n de N.

a) Sur le graphique de l'annexe, en utilisant la courbe C et la droite D, placer les points de C d'abscisses u0, u1, u2 et u3.
b) Démontrer que pour tout n de N on a : .
c) Etudier la monotonie de la suite (un).
d) Démontrer que la suite (un) est convergente. On désigne par l sa limite.
e) Utiliser la partie A pour donner la valeur de l.

ANNEXE

A compléter et à rendre avec la copie.



LE CORRIGÉ


I - L'ANALYSE DU SUJET

Dans une première partie, on étudie une fonction simple, avec logarithme, il s'agit de trouver son sens de variation, et de résoudre l'équation:
f(x) = x
Dans la seconde partie, on utilise les variations de f pour étudier la convergence d'une suite définie par la relation de récurrence:

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME

Fonction logarithme népérien ;
Suites définies par récurrence ;
Démonstration par récurrence ;
Théorèmes de convergence d'une suite.

III - LES DIFFICULTES DU SUJET

Comprendre le lien entre l'étude de la fonction N et le sens de variation de f (question A,2).
Maîtriser la démonstration par récurrence.
Faire judicieusement le bilan des résultats obtenus (à la dernière question).

IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE

Dérivation des fonctions usuelles, et applications ;
Fonction logarithme népérien ;
Démonstration par récurrence (mise en œuvre et utilisation) ;
Exploiter le sens de variation d'une fonction ;
Suites monotones bornées.

V - LES RESULTATS

Partie A
1.

2. N est strictement croissante sur ]-1 ; +∞[

N(o) = 0
N(x) £ 0 sur ]-1 ; 0] ; N(x) ³ 0 sur [0 ; +¥[
f'(x) a le signe de N(x)
f est (strictement) décroissante sur ]-1 ; 0]
f est (strictement) croissante sur [0 ; +¥[

3. C et D se coupent en O (0 ; 0).

Partie B

1. si n [0 ; 4], alors f (x) [0 ; 4]

2. a) voir annexe 2

b) pour tout n N, un [0 ; 4]

c) (un) est décroissante

d) (un) converge

e) l = f(l) ; (un) converge  vers 0

 

VI - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

Partie A :

1.

soit  pour tout x de ]-1 ; +∞[

2. N(x) = (1 + x)² - 1 + ln(1 + x)

La fonction N est continue et dérivable sur ]-1 ; +∞[ (comme somme, produit et composée de fonctions dérivables).

Or pour tout x de ]-1 ; +∞[ : 1 + x > 0 et 2 (1 + x)² + 1 > 0 ;
donc : N'(x) > 0 sur ]-1 ; +∞[.

On en déduit que : N est strictement croissante sur ]-1 ; +∞[

N(0) = 1 - 1 + ln(1) donc N(0) = 0

Ainsi N est strictement croissante sur ]-1 ; +∞[ et N(0) = 0 ; on en déduit le signe de N(x) :

Or, d'après le 1. : , et pour tout x de ]-1 ; + ∞[ : (1 + x)² > 0.

Donc f'(x) a le signe et le zéro de N(x).

On en déduit que :

3. Le point d'intersection de C et D a une abscisse solution de l'équation : f(x) = x.
Cette équation équivaut successivement à :

Soit : x = 0

Or :

Donc C et D se coupent au seul point 0 (0 ; 0).

Partie B

1.

Or f est strictement croissante sur R+, donc :

2.

a) Voir graphique annexe 2.

b) Soit Pn la propriété :  (où n désigne un entier naturel quelconque).
Initialisation : u= 4, donc : uΠ[0 ; 4]
P0 est vraie.
Hérédité : supposons Pn vraie pour un certain n.
Alors : uΠ[0 ; 4]
Donc : f(unΠ[0 ; 4] (d'après le B, 1).
Soit : un + 1 Î [0 ; 4]
Ainsi : si Pn est vraie, alors Pn+1 est vraie; la propriété Pn est héréditaire.
Conclusion : On a démontré par récurrence que :

c) On va démontrer par récurrence que la suite (un) est décroissante.
Soit Qn la propriété : un+1 £ un (pour n Î ).
Initialisation : u0 = 4 et u1 = f(4) » 3,7
Donc : u1 £ u0
Q0 est vraie.
Hérédité : supposons Qn vraie pour un certain entier n.
Alors : un+1 £ un
Or f est croissante sur R+ et pour tout n Î N, un Î [0 ; 4] (d'après les questions A,2 et B,2,b).
Donc : f(un+1£ f(un),
Soit : un+2 £ un+1.
Ainsi : si Qn est vraie, alors Qn+1 est vraie ; la propriété Qn est héréditaire.
Conclusion : on a démontré par récurrence que pour tout n Î  : un+1£ un

La suite (un) est décroissante.

d) D'après la question précédente, (un) est décroissante ; et d'après le B,2,b, tous les termes de cette suite sont des réels de [0 ; 4].
Donc (un) est décroissante et minorée par 0.
On en déduit que : (un) converge.

e) D'après les questions précédentes, f est continue sur ]-1 ; +¥[ et pour tout n Î N :
un+1 = f(un).
Or (un) converge vers un réel l.
Donc : l = f(l)
D'après la question A,3, l'unique solution de l'équation f(x) = x, est 0.

D'où : (un) converge vers 0.



2019 Copyright France-examen - Reproduction sur support électronique interdite