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Annales gratuites Bac STI Génie Electronique : Fonction exponentielle

Le sujet  2004 - Bac STI Génie Electronique - Mathématiques - Problème Imprimer le sujet
LE SUJET

PROBLEME (11 points)

Partie A

On considère la fonction f définie et dérivable sur par f(x) = (ax 2 + bx + c) e-xa, b et c désignent trois nombres réels que l'on se propose de déterminer dans cette partie.
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté Cf la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni du repère orthogonal d'unités graphiques 2 cm sur l'axe des abscisses et 0,5 cm sur l'axe des ordonnées.

On admet que la droite D passe par A et est tangente à la courbe Cf au point B.

1. a) A l'aide d'une lecture graphique, déterminer les coordonnées entières des points A et B.
     En déduire f(-3) et f(0).

     b) Montrer qu'une équation de la droite (AB) est : y = x + 3. En déduire la valeur de f '(0).

2. a) Montrer que, pour tout x appartenant à , f '(x) = (-ax2 + (2a - b)x + b - c) e-x.

     b) En déduire f '(0), en fonction de b et c.

3. a) En utilisant les questions précédentes, montrer que les réels a, b et c sont solutions du système
          .

b) Résoudre le système et en déduire l'expression de f(x) en fonction de x.

Partie B

On suppose que f est définie sur par f(x) = (x2 + 4x + 3) e-x.

1. a) Vérifier que pour x différent de zéro, .

     b) Déterminer la limite de la fonction f en + ¥ . En déduire une asymptote à la courbe Cf.

     c) Déterminer la limite de la fonction f en - ¥ .

2. a) Vérifier que pour tout x appartenant à f '(x) = (-x2 - 2x + 1) e-x.

     b) Pour tout x réel, étudier le signe de f '(x) et dresser le tableau de variations de la fonction f.

     c) Calculer une valeur approchée à 10-1 près de l'ordonnée de chacun des points de la courbe Cf où la
     tangente est parallèle à l'axe des abscisses.

3. Montrer que l'équation f(x) = 2 admet une solution unique a pour x appartenant à [-1 ; 0]. Donner un encadrement de a d'amplitude 10-2.

Partie C

1. Soit F la fonction définie sur par F(x) = (-x2 - 6x - 9) e-x. Montrer que F est une primitive de f sur .

2. En déduire une primitive G de la fonction g sur définie par g(x) = x + 3 - f(x).

3. On considère la partie du plan comprise entre la droite D, la courbe Cf et les droites d'équations x = -3 et x = 0.

On désigne par A la valeur, exprimée en cm2, de l'aire de cette partie.
Calculer A.

LE CORRIGÉ

I - QUEL INTERET POUR CE SUJET ?

Etude d'une fonction exponentielle suivie d'un calcul d'aire.

II - LE DEVELOPPEMENT

PARTIE A

1. a) Les coordonnées du point A sont (-3, 0) et celles du point B sont (0,3).
Comme les points A et B appartiennent à la courbe Cf alors f (-3) = 0 et f (0) = 3.

     b) Le coefficient directeur de la droite (AB) est
     

     d'où a = 1
     De plus l'ordonnée à l'origine de la droite (AB) est 3.
     Donc l'équation de la droite (AB) est : y = x + 3.

2. a) f (x) = (ax2 + bx + c) e-x.
     Posons
     u (x) = ax2 + bx + c
     v (x) = e-x
     u ' (x) = 2 ax + b
     v ' (x) = - e-x
     Comme f = uv alors f ' = u'v + v'u.
     On a donc pour tout réel x :
     f ' (x) = (2 ax + b) e-x - e-x (ax2 + bx + c)
     f ' (x) = (2 ax + b - ax2 - bx - c) e-x
     D'où f ' (x) = (- ax2 + (2a - b) x + b - c) e-x.

     b) On en déduit :
     f ' (0) = b - c.

3. a) f (-3) = 0 équivaut à (9a - 3b + c) e-3 = 0
     Soit 9a - 3b + c = 0 car e-3 ¹ 0.
     f (0) = 3 équivaut à c = 3.
     Comme la droite (AB) est tangente à la courbe Cf en B alors le coefficient directeur de cette
     tangente est f ' (0).
     Comme f ' (0) = 1 alors on a :
     b - c = 1.
     On obtient donc le système suivant :

     

     b)

        
     On en déduit
     f (x) = (x2 + 4x + 3) e-x.

PARTIE B

1. a) Pour tout x ¹ 0
     
     soit
     

     b)
        
     Donc
          
          
     car
          
     D'où
          
     On en déduit que l'axe des abscisses est asymptote à la courbe Cf .

     c)
          
     D'où
          

2. a) Comme f ' (x) = (-ax2 + (2a - b) x + b - c) e-x
     et que a = 1, b = 4 et c = 3
     alors f ' (x) = (-x2 + (2 ´ 1 - 4) x + 4 - 3) e-x
     Soit f ' (x) = (-x2 - 2x + 1) e-x.

     b) f ' (x) est du signe de -x2 - 2x + 1 car e-x > 0 pour tout réel x.

     Pour étudier le signe de -x2 - 2x + 1, il faut calculer le discriminant D puis les racines éventuelles.
     D = 8.
     
     ou
     
     f ' (x) £ 0 pour x appartenant à l'intervalle
     
     f ' (x) ³ 0 pour x appartenant à l'intervalle
     
     Il en résulte le tableau de variation de la fonction f.

     c) L'ordonnée de chacun des points de la courbe Cf où la tangente est parallèle à l'axe des
     abscisses est
      à 10-1 près par défaut et
      à 10-1 près pas excès.

3. f est strictement croissante sur l'intervalle [-1 ; 0] de plus f (-1) = 0 et f (0) = 3.
Donc f réalise une bijection de l'intervalle [-1 ; 0] vers l'intervalle [0 ; 3].
Comme 2 appartient à l'intervalle [0 ; 3] alors il existe un réel unique a appartenant à
l'intervalle [-1 ; 0] solution de l'équation f (x) = 2 :
A l'aide d'une calculatrice on en déduit que
-0,53 < a < -0,52.
En effet, f (-0,53) » 1,972 et f (-0,52) » 2,002

PARTIE C

1. F (x) = (-x2 - 6x - 9) e-x
Pour montrer que F est une primitive de f il suffit de montrer que F ' = f.
F ' (x) = (-2x - 6) e-x - (-x2 - 6x - 9) e-x
F ' (x) = (-2x - 6) e-x + (x2 + 6x + 9) e-x
F ' (x) = (-2x - 6 + x2 + 6x + 9) e-x
F ' (x) = (x2 + 4x + 3) e-x
On a bien F ' (x) = f (x).
Donc F est une primitive de f sur .

2. g (x) = x + 3 - f (x).
Une primitive G de la fonction g sur est définie par :

3.
    
    
    
    
     unités d'aire
    A = 13,5 cm2.

III - LE COMMENTAIRE MATHEMATIQUE

Un problème très classique où l'autocontrôle était toujours possible.

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