(Commun à tous les candidats)

L’annexe 1 est à rendre avec la copie.

Un nouveau modèle de mini-ordinateur est mis sur le marché.

Soit la quantité d’appareils pouvant être vendus, exprimée en milliers.

La fonction d’offre de cet appareil est la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 35] par :

Le nombre réel désigne le prix unitaire en euros d’un appareil, proposé par les fournisseurs, en fonction de la quantité, exprimée en milliers, d’appareils pouvant être vendus.

La fonction de demande de cet appareil est la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 35] par :

Le nombre réel désigne le prix unitaire en euros d’un appareil, accepté par les consommateurs, en fonction de la quantité, exprimée en milliers, d’appareils disponibles.

1. a. Démontrer que la fonction est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; 35].

b. Démontrer que la fonction est strictement décroissante sur l’intervalle [0 ; 35].

c. Les courbes représentatives respectives et des fonctions et, tracées dans un repère orthogonal, sont fournies en annexe 1 à rendre avec la copie.

Lire avec la précision autorisée par le graphique une valeur approchée des coordonnées de leur point d’intersection E.

2. Afin de déterminer les coordonnées du point E de façon précise, on est amené à résoudre dans l’intervalle [0 ; 35] l’équation. Pour cela, on considère la fonctiondéfinie sur l’intervalle [0 ;35] par.

a. Déterminer le sens de variation de la fonctionsur l’intervalle [0 ; 35]. On pourra utiliser la question 1.

b. Démontrer que l’équation admet une solution unique dans l’intervalle [0 ; 35].

c. A l’aide de la calculatrice, déterminer l’arrondi de au millième.

d. On pose =. En utilisant la question précédente, calculer l’arrondi de au centième.

e. Sachant que représente le prix unitaire d’équilibre de cet appareil, préciser ce prix à un centime d’euro près. Quel est le nombre d’appareils disponibles à ce prix ?

3. On prendra dans cette question =8.871 et =238.41.

a. Déterminer une primitive F de la fonction sur l’intervalle [0 ; 35].

b. On appelle surplus des fournisseurs le nombre réel S défini par la formule :

Hachurer, sur le graphique de la feuille annexe 1 à rendre avec la copie, le domaine du plan dont l’aire en unités d’aire est le nombre réel.Déterminer la valeur arrondie au millième du nombre réel.

Annexe 1 : à rendre avec la copie

I. Intérêt du sujet

Utiliser les fonctions logarithme et exponentielle dans le cadre de la gestion d’entreprise.

II. Savoir et savoir-faire

- Dérivée et variations des fonctions logarithme et exponentielle ;

- Savoir utiliser le théorème de la bijection (ou théorème des valeurs intermédiaires) pour montrer qu’une équation admet une solution ;

- Savoir interpréter graphiquement une intégrale.

III. Résultats

1) a.est strictement croissante.

b.est strictement décroissante.

c. E(9 ;240).

2) a.est strictement croissante.

b. admet une solution unique dans l’intervalle.

c..

d. .

e. 238 euros et 41 centimes.

3) a. .

b. voir courbe.

IV. Développement

1) a. Soit, .

On a

Orpour tout,

et doncest strictement croissante sur.

b. Soit.

On a.

Pour tout,,

et donc.

Doncest strictement décroissante pour tout.

c. Pour lecture graphique, les valeurs approchées des coordonnées du point E sont (9 ;240).

2) a. Soit la fonction,.

est une fonction strictement croissante.est une fonction strictement décroissante. Les deux fonctions sont strictement positives sur l’intervalle [0 ;35].

Donc la fonctionest strictement croissante.

b. Dans l’intervalle [0 ;35] la fonctionest strictement croissante.

On aetà 10 près.

On a doncet.

La fonction est continue donc il existe une unique valeurde l’intervalle [0 ;35] solution de l’équation.

c. La calculatrice donne comme résultat au millième près.

d. . La machine donneàprès.

e. Prix unitaire d’équilibre à 1 centime d’euros près : 238 euros et 41 centimes. On dispose de 8871 ordinateurs.

3)

a. soit F une primitive desur [0 ;35].

On a car est une primitive de.

Donc.

b.

Le nombrereprésente en unités d’aires l’aire du rectangle OAEB sur le graphique.

Par ailleurs le nombrereprésente en unités d’aires, l’aire de la surface comprise entre les axes et la courbe représentative de.

D’où la surface hachurée dont l’aire en unités d’aires est égale au nombre S.

V. Difficultés

Les difficultés sont nombreuses. Notamment :

- Quand il s’agit d’étudier le signe de la fonction, ce qui ne peut être fait de manière traditionnelle en utilisant la dérivée ;

- Quand il s’agit d’interpréter graphiquement le nombre S.