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Annales gratuites Bac ST2S : Glycémie

Le sujet  2004 - Bac ST2S - Mathématiques - Problème Imprimer le sujet
LE SUJET

Partie A :

Cette partie concerne l'étude et la représentation graphique de la fonction f définie sur l'intervalle
par : f(x) = ln(4x + 1) - x +1.

1. Calculer f'(x) et vérifier que : .

2. a) Résoudre l'équation f'(x) = 0.
     b) Etudier le signe de f'(x)
     c) Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle .
(Les valeurs utiles de f(x) seront données sous forme exacte.)

3. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir les résultats à 10-2 près) :

x

0

0,5

0,75

1

1,5

2

2,5

f(x)

1,60

1,45

1,20

4. Sur la feuille de papier millimétré fournie, tracer la courbe représentative de la fonction f en prenant pour unité graphique 5 cm pour 1 unité sur les deux axes.

Partie B :

Dans cette partie, on utilise les résultats précédents pour étudier la glycémie (taux de glucose sanguin) d'une personne observée après ingestion de sirop de glucose.

On suppose que cette glycémie (en g.L-1) en fonction du temps x (en heures) est donnée par
f(x) = ln(4x + 1)-x + 1 où x varie dans l'intervalle .

1. Déterminer l'instant (en minutes) auquel la glycémie de cette personne est maximale.

2. Toute modification de la glycémie qui s'écarte de 25% de la valeur moyenne de 1g.L-1 provoque des perturbations plus ou moins graves chez l'homme.
Déterminer l'intervalle dans lequel doit rester la glycémie pour éviter toute perturbation.

3. Une glycémie supérieure à 1,25 g.L-1 est appelée hyperglycémie ; une glycémie inférieure à 0,75 g.L-1 est appelée hypoglycémie.
a) Déterminer graphiquement le ou les intervalles de temps (en heures) pendant lesquels la personne observée est en hyperglycémie (faire apparaître les traits de construction utiles).
b) Même question pour l'hypoglycémie.

LE CORRIGÉ

I - QUEL INTERET POUR CE SUJET ?

Utilisation des fonctions dans l'étude de la glycémie.

II - LE DEVELOPPEMENT

PARTIE A

1)

2) a) f ' (x) = 0 équivaut à -4+ 3 = 0

f ' (x) = 0 pour

b) f sur l'intervalle , 4+ 1 > 0
donc f'(x) est du signe de -4x + 3.
f'(x³  0 pour
f'(x£  0 pour

c) Il en résulte le tableau de variation suivant :

3)

x

0

0,5

0,75

1

1,5

2

2,5

f(x)

1

1,60

1,64

1,61

1,45

1,20

0,90

4)[Ici, bientôt une représentation graphique]

PARTIE B

1) L'instant auquel la glycémie de cette personne est maximale est de 45 minutes.

2) L'intervalle dans lequel doit rester la glycémie pour éviter toute perturbation est : [0,75 ;  1,25]

3) a) Par lecture graphique on voit que la personne est en hyperglycémie au bout de 9 minutes et jusqu'à 1h55min.

b) En revanche elle ne sera jamais en hypoglycémie sur l'intervalle de temps considéré.

III - LE COMMENTAIRE MATHEMATIQUE

Une certaine minutie pour faire un graphique soigné était nécessaire.

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