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Annales gratuites Bac STI Génie Electronique : Interprétation graphique

Le sujet  2010 - Bac STI Génie Electronique - Mathématiques - Problème Imprimer le sujet
Avis du professeur :
Le sujet porte sur l'étude d'une fonction logarithme. On utilise l'interprétation graphique d'une courbe donnée.

Le sujet nécessite de bien savoir passer du graphisme aux données algébriques.
LE SUJET

Problème

Partie A : exploitation d’un graphique

La courbe ci-contre est la représentation graphique d’une fonction g définie sur par :

g() - + + ba et b désignent deux nombres réels.

On suppose g strictement croissante sur .

Cette courbe coupe les axes de coordonnées aux points A(1 ;0) et B(0 ;-2).

La droite en pointillés est la tangente à la courbe au point d’abscisse 1. Elle coupe l’axe des ordonnées au point

C (0 ;-3).

1) Lire g(1) sur le graphique. En déduire une relation entre a et b.

2) Donner la valeur de g’(1). Ecrire alors une relation vérifiée par a.

3) A l’aide des deux premières questions, déterminer les valeurs de a et b.

4) donner le signe de g() sur .

Dans la suite, on admettra que  g() - + - .

Partie B : étude d’une fonction

On considère maintenant la fonctiondéfinie sur l’intervalle ]0;5] par :

Soit sa courbe représentative dans un repère (O ;) du plan.

1) On admet que .

En remarquant que, pour toutde l’intervalle ]0;5],, déterminer la limite de la fonction en zéro et interpréter graphiquement le résultat.

2) Montrer que pour toutde l’intervalle ]0;5], où g est la fonction définie dans la partie A.

En déduire le signe de, puis dresser le tableau de variation de la fonction.

Partie C : position relative de deux courbes

Dans la question 1. on demande de conjecturer des résultats à partir de la calculatrice ; dans la question 2. on demande de prouver ces résultats.

1) Sur l’écran de la calculatrice, on fera apparaître la courbereprésentative de la fonction, ainsi que l’hyperbole d’équation .

Les résultats attendus dans cette question seront obtenus à partir de la lecture d’écran.

  1. Faire un schéma reproduisant l’écran obtenu en précisant la fenêtre utilisée.

  2. Les courbeset semblent avoir un point commun. Donner ses coordonnées.

  3. Préciser la position relative depar rapport à .

2) On considère la fonctiondéfinie sur l’intervalle ]0;5] par :

.

  1. A l’aide de la question précédente, proposer une solution de l’équation = 0 et, à l’aide d’un calcul, opérer une vérification.

  2. Calculeret en déduire le sens de variation de la fonction.

  3. En déduire le signe desur l’intervalle ]0;5].

  4. La position depar rapport à précisée à la question 1)c. est-elle confirmée ?

Partie D : calcul d’aire

1) On considère la fonctiondéfinie sur l’intervalle ]0;5] par :.

Montrer queest une primitive de la fonctionsur l’intervalle ]0;5].

2) Calculer l’aire du domaine compris entre la courbe, la courbe et les droites d’équations respectives et . Le résultat sera donné en unités d’aire.

LE CORRIGÉ

I. Intérêt du sujet

Le sujet fait appel à toutes les connaissances du problème d’analyse concernant les fonctions.

II. Savoir et savoir-faire

- Lectures graphiques (courbes, tangentes, signe)

- Dérivation (calcul, exploitation)

- Etude de signe

- Utilisation d’une calculatrice graphique

- Position relative d deux courbes

- Primitives et intégrales

- Intégrales et calcul d’aire

III. Résultats

Partie A

1) ; .

2)  ; .

3)  ; .

4) pour

sur ]1 ; [

sur ] ;1[

Partie B

1)  ; est asymptote à.

2)

pour

sur ]0 ;1[

sur ]1 ;5]

0

1

5

-

0

+

4

Partie C

1) a.

b. etse coupent en A(1 ;4).

C. est au-dessous desur ]0 ;1[ et au-dessus sur ]1 ;5[.

2) a. 1 est solution de l’équation : .

b.sur ]0 ;5]. D est strictement croissante sur ]0 ;5].

c. sur ]0 ;1[ ; ,sur ]1 ;5].

d. Le résultat de la Partie C, 2)c. confirme la position relative deet.

Partie D

1) H est une primitive desur ]0 ;5].

2) .

IV. Développement

Partie A

1) D’après le graphique,. Or, soit.

Donc.

2)est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse 1. D’après le graphique :.

Or

soit

donc, d’où.

3)D’après (A-1) et (A-2) : et.

4) D’après le graphique :

pour

sur ]1 ; [

sur ] ;1[

Partie B

sur.

sur ]0 ;5].

1) Pour]0 ;5] = .

Or  ; .

Donc .

Et . Donc .

Interprétation graphique :est asymptote à.

2) Pourtantde ]0 ;5] :

Donc .

Signe de : pour toutde]0 ;5] : , donca le signe de g sur ]0 ;5].

D’où pour

sur ]0 ;1[

sur ]1 ;5]

0

1

5

-

0

+

4



Partie C

1) a. Pouret :

Ici, bientôt une courbe.

b.etsemblent se couper en A(1 ;4).

c.est au-dessous desur ]0 ;1[ et au-dessus sur ]1 ;5[.

2) , sur ]0 ;5].

a. D’après la question précédente, 1 doit être solution de l’équation.

Vérification : , soit.

b.

Soit .

Signe de  : sur ]0 ;5], , donc a le signe de. P est un trinôme du second degré, de discriminant :

.

, donc P n’a pas de racine et garde le signe desur.

D’où : sur ]0 ;5].

Sens de variation de d : sur ]0 ;5]. Donc d est strictement croissante sur ]0 ;5].

c. etest strictement croissante sur ]0 ;5].

Doncsur ]0 ;1[

sur ]1 :5].

d. Le résultat de la Partie C 2) c. confirme la position relative deetobtenue dans la Partie C 1) c., carest au-dessus delorsque d est positive, et au-dessous lorsque d est négative.

Partie D

1) pour toutde ]0 ;5] :

.

Donc H est une primitive desur ]0 ;5].

2) L’aire cherchée est :

carest au-dessus desur

.

V. Difficultés

- Bien faire les liens entre les différentes parties et les nombreuses questions.

- Bien choisir la fenêtre graphique sur la calculatrice.

- Beaucoup de calculs (notamment à la dernière question).

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