Le sujet 2006 - Bac ST2S - Mathématiques - Problème |
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Avis du professeur :
Expérience biologique modélisée par une fonction
exponentielle. |
Partie A
Soit f la fonction définie sur [0; 7] par f(x) = 12 + 3x — e0,5x.
1.
a. Calculer f ' (x) et montrer que : f '(x)
= 3 — 0,5 e0,5x.
b. Résoudre l'inéquation f '(x) ≥ 0.
c. Dresser le tableau de variation de la fonction f.
2. Recopier et compléter le tableau suivant (arrondir les résultats à 0,1 près) :
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
2 ln 6 |
4 |
5 |
6 |
7 |
f(x) |
|
13,4 |
|
|
|
16,6 |
14,8 |
9,9 |
|
3. Tracer la courbe représentative de f dans
un repère orthogonal ;
unités : 2 cm pour une unité en abscisses et 1 cm pour une unité en ordonnées.
Partie B
On introduit une substance S dans un liquide contenant un
certain type de micro-organismes afin d'en stopper la prolifération.
On suppose que le nombre (en millions) de micro-organismes présents au bout du
temps x (en heure) écoulé depuis l'introduction de la substance S est
donné par l'expression:
f(x) = 12 + 3x — e0,5x
1. Quel est le nombre de micro-organismes au bout d'une heure ? Au bout d'une heure et trente minutes ? (Arrondir les résultats à 100 000 près)
2. Au bout de combien de temps la population est-elle maximale ? Quelle est cette population maximale ?
3. Déterminer graphiquement durant combien de temps
la population est supérieure ou égale à 12 millions (laisser apparents les
traits de la construction).
I - L'ANALYSE ET LES DIFFICULTES DU SUJET
Application pratique de l'étude d'une fonction exponentielle qui nécessitait de bien savoir faire le lien entre théorie et pratique.
II - LES NOTIONS DU PROGRAMME : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE
● Fonction exponentielle
● Equations, inéquations
● Lecture graphique
III - LES RESULTATS
Partie A
1.
a. f ' (x) = 3 —
0,5 e0,5 x
b. f ' (x) ≥ 0 si et
seulement si x ≤ 2 ln 6
c.
f est croissante si et seulement si x ≤ 2 ln 6
f est décroissante si x ≥ 2 ln 6
2. voir courbe ci-après.
Partie B
1.
13,4 millions au bout d'une heure.
14,4 millions au bout d'une heure et trente minutes.
2. La population atteint son maximum au bout de 3h36 min environ. Elle est de 16,8 millions.
3. 5h15 min environ.
IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES
Partie A
1.
On a f(x) = 12 + 3x — e0,5 x pour .
a.
On sait que (eu) ' = u ' e u
donc f ' (x) = 3
— 0,5 e0,5 x
b.
f ' (x) ≥ 0 si et seulement si 3 — 0,5 e 0,5
x ≥ 0
soit
3 ≥ 0,5 e 0,5 x
e 0,5 x ≤ 6
0,5 x ≤ ln 6
x ≤ 2 ln 6
c. D'où le tableau de variation de f :
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
2 ln 6 |
4 |
5 |
6 |
7 |
f(x) |
11 |
13,4 |
15,3 |
16,5 |
6 + 6 ln 6 |
16,6 |
14,8 |
9,9 |
— 0,1 |
2 ln 6 = 3,6 à 10 ' près
6 + 6 ln 6 = 16,8 à 10 ' près
3.
Partie B
1. f(1) = 13,4
donc
au bout d'une heure, il y a 13,4 millions de
micro-organismes.
f(1,5) = 14,4
au bout d'une heure trente, il y a 14,4 millions.
2. La population est maximale pour x = 2ln6 soit 3 h et 36 minutes. Elle est alors de (6+2ln6) millions soit 16.8 millions.
3. Graphiquement, on constate que f(x) > 12
si 0,4 < x < 5,7 donc
la population est supérieure à 12 millions pendant
environ 5 heures et quart.